高考数学数列求和

亿库教育网百万教学资源免费下载数列求和【复习目标】理解数列求和的基本思路，熟练掌握以下方法：1．公式法求和（等差（比）数列求和.）2．错位相减法.3．倒序相加法.4．裂项相消法求和与并项求和.5．分组转化法求和【知识要点】求数列的前n项和Sn通常要掌握以下方法：1．直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列求和时分的讨论.2．错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和，此法即等比数列求和公式的推导方法.3．分组求和法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和.4．裂项相消法：把数列的通项折成几项求和，正负相消剩下（首尾）若干项求和.（1）)1(1nn；（2）)12)(12(1nn；（3）ba1.5．倒序相加法：即等差数列求和公式的推导方法.6．公式法(注意公式的推导).常用的公式有：2221221nknk=；333313321nknk=；【基础训练】亿库教育网百万教学资源免费下载1、写出等差数列{an}的前n项和的推导过程：这种求和方法称为2、写出等比数列{an}的前n项和的推导过程：这种求和方法称为3．数列121,341,581,7161,…的前n项和Sn=4．为正偶数为正奇数nnan,4,1，求{an}前n项和Sn=.5．已知)1(1nnan，求{an}，前n项之和Sn=.【典型例题】例1、求下面各数列的前n项和：（1）1×2，2×3，3×4，4×5。。。（2）1171951731511，，，例2、设221)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(–5)+f(–4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为23.变式：求和：CCCCnnnnnn）（132310例3、数列{an}的通项公式为an=n*2n则求Sn亿库教育网百万教学资源免费下载例4（2006年·北京海淀期中）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=.,2,,21为偶数为奇数nnannann（1）求a2，a3；（2）当n≥2时，求a2n–2与a2n的关系式，并求数列{an}中偶数项的通项公式；（3）求数列{an}前100项中所有奇数项的和.【规律总结】1．若是等差(比)数列求和问题，则直接用公式求和时，注意公式的应用范围(q=1和q≠1两类).2．非等差(比)数列求和，关键在于转化为等差(比)数列求和；写出通项公式，观察通项形式与特点、或拆项或并项、或错位相减或倒序相加.3．数列求和需熟练基本方法，积累一定经验.【考题链接】1．(05山东文21)已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN亿库教育网百万教学资源免费下载（I）证明数列1na是等比数列；（II）令212()nnfxaxaxax，求函数()fx在点1x处的导数(1)f，并比较2(1)f与22313nn的大小.2、（06湖北）设数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m。数列求和080161．数列2213，22325，22437，…，22)1(12nnn的前n项和是（）亿库教育网百万教学资源免费下载A．1–21nB．1+21nC．1+2)1(1nD．1–2)1(1n2．已知数列{an}的前n项和Sn=1–5+9–13+17–21+…+(–1)n–1(4n–3)，则S15+S22–S31的值为（）A．3B．-76C．46D．63．数列{an}的通项an=2n+1，则由bn=naaan21所确定的数列{bn}的前n项之和是（）A．n(n+2)B．21n(n+4)C．21n(n+5)D．21n(n+7)4．Sn=1)2(1141121222n=.5．已知数列{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n–1)an–1(n≥2)，则{an}的通项公式an=6．求和：（1）Sn=nanaaa32321；（2）Sn=1+2×3+3×7+…+n(2n–1).7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=5a2，a3=3.令bn=nS1，n∈N*.（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求Tn=b1+b2+…+bn.亿库教育网百万教学资源免费下载8．设数列{an}对所有正整数n都满足：a1+2a2+22a3+…+2n－1an=8–5n.求数列{an}的前n项和Sn.【知识要点】求数列的前n项和Sn通常要掌握以下方法：1．直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列求和时q=1、q≠1的讨论.2．错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和，此亿库教育网百万教学资源免费下载法即等比数列求和公式的推导方法.3．分组求和法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和.4．裂项相消法：把数列的通项折成几项求和，正负相消剩下（首尾）若干项求和.（1）111)1(1nnnn；（2）)121121(21)12)(12(1nnnn；（3）)(11bababa.5．倒序相加法：即等差数列求和公式的推导方法.6．公式法(注意公式的推导).常用的公式有：2221221nknk61n(n+1)(2n+1)；333313321nknk=41n2(n+1)2.【基础训练】1、写出等差数列{an}的前n项和的推导过程：【解析】Sn=a1+a2+…+an–1+anSn=an+an–1+…+a2+a1，两式相加：2Sn=(a1+an)+(a2+an–1)+…+(an+a1)=(a1+an)·n1．得naaSnn21.这种求和方法称为倒序相加法.2、写出等比数列{an}的前n项和的推导过程：【解析】Sn=a1+a1q+…+a1qn–1qSn=a1q+a1q2+…+a1qn亿库教育网百万教学资源免费下载由错位相减，得(1–q)Sn=a1–a1qnqqaSnn1)1(1.这种求和方法称为错位相减法3．数列121,341,581,7161,…的前n项和Sn=nn2112.【解析】裂项法：S=(1+3+5+…+2n–1)+(n214121)【点评】通过裂项，将数列转化为等差、等比数列求和，这是数列求和的基本思路.4．为正偶数为正奇数nnan,4,1，求{an}前n项和Sn=3,2134,2nnnn为偶数为奇数.【解析】当n=2k(k∈N+)时，Sn=(1–4)+(1–4)+…+(1–4)=–3k，当n=2k–1(k∈N*)时，Sn=S2k+4=–3k+4，故Sn=32134,2,nnnn为偶数为奇数【点评】并项求和.并项后转化为易求和型.5．已知)1(1nnan，求{an}，前n项之和Sn=1nn.【解析】)1(1321211nnSn=1113121211nn=1nn亿库教育网百万教学资源免费下载【点评】拆项相消法.【典型例题】例1、求下面各数列的前n项和：（1）1×2，2×3，3×4，4×5。。。（2）1171951731511，，，例2【解析】∵221)(xxf，∴xxxxf2222221)1(1=xx22221，∴22222211)1()(xxxfxf，设S=f(–5)+f(–4)+…+f(6)，则S=f(6)+f(5)+…+f(–5)，∴2S=(f(6)+f(–5)+(f(5)+f(–4))+…+(f(–5)+f(6))=26，∴S=f(–5)+f(–4)+…+f(6)=23.【点评】使用“倒序相加法”求和的题型特征是“与首末两端距离相等的两项的和都相等”.本题中，倒序相加后，对应项的和中自变量的和都等于1，故需探求f(x)+f(1–x)的值.变式：求和：CCCCnnnnnn）（132310例3、数列{an}的通项公式为an=n*2n则求Sn拓展：设xxf12)(1，定义fn+1(x)=f1[fn(x)]，an=2)0(1)0(nnff，其中n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=144422nnnn，其中n∈N*，试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.【解析】（1）f1(0)=2，4122121a，fn+1(0)=f1[fn(0)]=)0(12nf，亿库教育网百万教学资源免费下载2)0(1)0(111nnnffa=2)0(121)0(12nnff=nnnnnaffff212)0(1)0(21)0(24)0(1.∴数列{an}是首项为41，公比为21的等比数列，∴1)21(41nna.（2）123212)12(32naanaaaT+2na2n，2122)21()21(21aaTn+…+)12)(21(nnnnaa2122)21(=a2+2a3+…+(2n–1)a2n–na2n，∴)21(23222nnnTTT=a1+a2+…+a2n+na2n=122)21(41211])21(1[41nnn=122)21(4)21(6161nnn，∴1222)21(6)21(9191nnnnT=)2131(912nn，∴1444,213192222nnnnQnTnnn2)12(131nn，当n=1时，22n=4，(2n+1)2=9，∴9T2n＜Qn；当n=2时，22n=16，(2n+1)2=25，∴9T2n＜Qn；当n≥3时，22n=[(1+1)n]2=(nnnnnCCCC210)2＞(2n+1)2，∴9T2n＞Qn.综上，当n=1，2时，9T2n＜Qn；亿库教育网百万教学资源免费下载当n≥3时，9T2n＞Qn.【点评】数列求和中的错位相减法是最近几年高考题中常考内容，往往和解析几何、函数、不等式等知识联系较多，且涉及分类讨论等思想方法，考生须熟练掌握，“错位”是为了对齐同类项，最后一项符号易错，求和时，只有部分成等比（差）数列.例4【解析】（1）25,2332aa.（2）)22(222122naann，即a2n–1=a2n–2–2(2n–2).)12(