高考数学等差数列和等比数列

第7讲等差数列和等比数列一、高考要求①理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；②理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题；③理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题．二、两点解读重点：①等差数列的概念及其通项公式与前n项和公式；②等比数列的概念及其等比数列通项公式与前n项和公式；③等差数列和等比数列的性质；④等差数列、等比数列的综合及其应用．难点：①等差数列和等比数列的性质；②等差数列、等比数列的综合及其应用．三、课前训练1．已知}{na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2008na，则序号n等于（D）（A）667（B）668（C）669（D）6702．等差数列{}na中,1030a,2050a，则通项na210n，前11项和为242.3．数列}{na中，21a，17a，又数列}11{na为等差数列，则11a1174．设数列}{na的前n项和cSnn3，且数列}{na是一个等比数列,则c=1四、典型例题例1已知数列}{na的前n项和qqaaqSnn,1,0(1为非零常数），则数列}{na为（）（A）等差数列（B）等比数列（C）既不是等差数列，又不是等比数列（D）既是等差数列又是等比数列解：当1n时，aSa11，当2n时，)1(11qaqSSannnn，)1(1qaqann，∴)2(1nqaann为常数,但qqaa112，∴数列}{na从第二项起为等比数列，故选C例2若}{na是等差数列，首项01a，020082007aa，020082007aa，则使数列}{na的前n项和nS为正数的最大自然数n是（）（A）4013（B）4014（C）4015（D）4016解：由条件可知：02007a，02008a．考虑020082007aa及等差数列性质知02)(40142)(401420082007401414014aaaaS，即04014S；考虑02008a及等差数列性质知040152)(40152008401514015aaaS，即04015S，故选B例3设等差数列}{na的前n项和为nS，已知366S，324nS，若)6(1446nSn，则n的值为．解：由条件知54321nnnnnnaaaaaa=1801443246nnSS，又366654321Saaaaaa，651aaaann，∴21618036)(61aan，∴361aan，3242362)(1naanSnn，∴n=18例4已知函数)(xf定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有)()1(2)2(xfxfxf，且6)3(,2)1(ff，则)2007(f解：由)1(2)()2(xfxfxf知函数))((*Nxxf当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，)2005(,),3(),1(fff形成一个首项为2，公差为4的等差数列，所以40144)11004(2)2007(f例5设数列}{na、}{nb满足：naaaabnn321(nN*)．（Ⅰ）若2nbn，求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若}{nb是等差数列，求证}{na也是等差数列．解：设}{na的前n项和为nS．（Ⅰ）由题意：2nnSbnn，即)2(nnSn)(*Nn①，当2,*nNn时，有)1)(1(1nnSn②，由①②两式相减可得：12nan，当1n时，311Sa，也可用12nan表示，所以对任意的*Nn都有：12nan．（Ⅱ）若}{nb是等差数列，设首项为1b，公差为d，由nSbnn可得dnbnSn)1(1，于是dnnnbSn)1(1①，当2,*nNn时，有dnnbnSn)2)(1()1(11②，由①②两式相减可得：dnban2)1(1，当1n时，111bSa，也可用dnban2)1(1表示，所以对任意的*Nn都有：dnban2)1(1，而daann21（2,*nNn），由等差数列的定义知：}{na也是等差数列例6设数列}{na的首项411aa,且.,41,,211为奇数为偶数nanaannn记.,3,2,1,4112nabnn（Ⅰ）求2a，3a；（Ⅱ）判断数列}{nb是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）414112aaa，81212123aaa；（Ⅱ）因为83214134aaa，所以163412145aaa．所以0414111aab，)41(214132aab，)41(414153aab．猜想，}{nb是公比为21的等比数列．证明如下：因为)(,21)41(2141)41(21412141*12122121Nnbaaaabnnnnnn所以}{nb是首项为41a，公比为21的等比数列