高考数学系列之单元测评13

高考数学系列1单元测评(十三)测试内容：概率、离散型随机变量及其分布列测试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的有()A．①②B．②③C．③④D．③解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件.答案：D2．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是()A.14B.13C.12D.23解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1m，故所求概率为P＝24＝12.答案：C3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84解析：依正态分布的对称性知P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.答案：A高考数学系列24．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上第个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是()A．1－π4B.π4C．1－π8D．与a的取值有关解析：几何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故选A.答案：A5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是()A.16B.25C.13D.23解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率为P＝46＝23.答案：D6．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点朝上时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是()A.310B.559C.509D.809解析：由题意知，抛掷两个骰子一次，成功的概率是P＝2036＝59，所以ξ～B(10，59)，E(ξ)＝np＝10×59＝509.答案：C7．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()A.19B.112C.115D.118解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P＝12216＝118.答案：D8．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为()高考数学系列3A．3B．4C．2和5D．3和4解析：点P(a，b)的个数共有2×3＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D.答案：D9．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是()A.512B.12C.712D.56解析：基本事件总数为36，由cosθ＝a·b|a|·|b|≥0得a·b≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝2136＝712.答案：C10．集合A＝{(x，y)|x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于()A.14B.29C.736D.536解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．高考数学系列4现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)∈A∩B的概率为836＝29，故选B.答案：B11．已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴、直线x＝1构成区域M，若将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是()A.12B.14C.13D.25解析：这是一个几何概型，正方形的面积为1，区域M的面积S＝01x2dx＝13，所求概率为13，故选C.答案：C12．设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为()A.12B.58C.1116D.34解析：据题意函数在已知条件下单调，若其在区间[1,2]内存在零点，则有(a－b＋1)(2a－b＋8)≤0，满足条件的实数对(a，b)共有11对，而整个基本事件的个数共有4×4＝16个，故其概率为1116.答案：C第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足|x|≤2，|y|≤1，则任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率为__________．解析：点(x，y)在由直线x＝±2和y＝±1围成的矩形上或其内部，使x2＋y2≤1的点(x，y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝π4×2＝π8.高考数学系列5答案：π814．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________．解析：由题意，当m2≠n3，即3m≠2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36，满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m≠2n的基本事件数为34个，故所求概率为P＝3436＝1718.答案：171815．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0m≥0，点P是圆内的任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最大，则m＝__________.解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，则点P落在平面区域E内的概率最大．答案：016．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝__________.解析：ξ的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝2×29＝49，P(ξ＝1)＝C21C219＝49，P(ξ＝2)＝19.所以E(ξ)＝0×49＋1×49＋2×19＝23.答案：23三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某高考数学系列6学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)设该学生选修甲、乙、丙的频率分别为x、y、z，依题意得x1－y1－z＝0.08xy1－z＝0.121－1－x1－y1－z＝0.88，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5，若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0，当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，∴事件A的概率为0.24.(2)依题意知ξ＝0,2，由(1)知P(ξ＝0)＝0.24，P(ξ＝2)＝1－0.24＝0.76，故ξ的分布列为ξ02P0.240.76∴ξ的数学期望为Eξ＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.18．(12分)2010年11月12日，第十六届亚洲运动会在广州举行，为给观众提供方便，组委会在主会馆设立了一个饮料自动销售点，已知某种饮料一天的销售量与该天的日平均气温T(单位：℃)有关，若T≤20，则日销售量为100升；若20＜T≤25，则日销售量为150升；若T＞25，则日销售量为200升．设广州市在11月份每一天的日平均气温T≤20,20＜T≤25，T＞25这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2为方程5x2－4x＋m＝0的两根，且P2＝2P3.(1)求P1，P2，P3的值；(2)记ξ表示自动销售点在11月份任意两天销售这种饮料的总和(单位：升)，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)由已知得P1＋P2＋P3＝1，P1＋P2＝45，P2＝2P3，解得P1＝25，P2＝25，P3＝15.(2)由题知，ξ的可能取值为200,250,300,350,400.高考数学系列7P(ξ＝200)＝25×25＝425；P(ξ＝250)＝2×25×25＝825；P(ξ＝300)＝2×25×15＋25×25＝825；P(ξ＝350)＝2×25×15＝425；P(ξ＝400)＝15×15＝125.所以随机变量ξ的分布列为ξ200250300350400P425825825425125故所求的数学期望为Eξ＝200×425＋250×825＋300×825＋350×425＋400×125＝280.19．(12分)某高中利用下午的课外活动时间，组织部分学生学习太极拳，三个年级参加的人数如下表．现用分层抽样的方法从三个年级参加的学生中抽取若干名同学组成一个表演小组，有关数据见下表(单位：名).年级参加人数表演人数一年级36x二年级16y三年级123(1)求x，y的值；(2)若从二年级和三年级参加表演的同学中，再选出2名同学作表演后的学习太极拳汇报发言，求这2名同学来自不同年级的概率；(3)设ξ为作汇报发言学生中三年级学生的人数，求ξ的分布列和期望．解析：(1)由题意知，x36＝y16＝312，∴x＝9，y＝4.(2)∵参加表演的同学共有7名，其中二年级4名，三年级3名，∴参加汇报发言的2名同学来自不同年级的概率为P＝C41·C31C72＝4×321＝47.(3)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C42·C30C72＝27，P(ξ＝1)＝C41·C31C72＝47，P(ξ＝2)＝C40·C32C72＝17.∴ξ的分布列为ξ012高考数学系列8P274717ξ的数学期望是Eξ＝0×27＋1×47＋2×17＝67.20．(12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp＞12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.若右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获