高考数学解析偶然与必然思想

7.或然与必然的思想世间的事物千姿百态,千变万化,有些事物和现象是确定的,有些事物和现象则是不确定的.模糊的或随机的.随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,这是偶然,二是频率的稳定性,这是必然.为了了解随机现象的规律性,产生了概率论这一数学分支.概率所研究的随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。随着新教材的实施，高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置，通过对古典概型,几何概型,条件概率,互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复试验发生了k次的概率以及随机事件的分布列与数学期望等重点内容，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系，从而体现了或然与必然的思想,下面的例题,可以从求古典概型,几何概型,条件概率及统计等不同的角度反映或然与必然的数学思想.【例1】(古典概型)(2008北京卷,文18)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．【分析及解】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件AE，那么3324541()40AAPECA，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140．（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么4424541()10APECA，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10PEPE．【例2】(几何概型)(2007海南和宁夏卷,文)设有关于x的一元二次方程2220xaxb．（Ⅰ）若a是从0123，，，四个数中任取的一个数，b是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a是从区间[03]，任取的一个数，b是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析及解】设事件A为“方程2220aaxb有实根”．当0a，0b时，方程2220xaxb有实根的充要条件为ab．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为93()124PA．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为()|0302abab，，．构成事件A的区域为()|0302ababab，，，．所以所求的概率为213222232323abOba图7-1【例3】(几何概型)把长为a米的线段分成三段，能组成三角形的概率是多少？【分析及解】设分成的三段为,,.xyaxy则.xya如果这三段能组成三角形，则满足,(),().xyaxyxaxyyyaxyx解得,2,2,2axyaxay所以，所求的概率为1.4DEFOABSPSFEDBAOyx图7-2【例4】(n次独立重复试验发生了k次的概率)(2007江苏卷)某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2位）：（Ⅰ）5次预报中恰有2次准确的概率；（Ⅱ）5次预报中至少有2次准确的概率；（Ⅲ）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【分析及解】（Ⅰ）5次预报中恰有2次准确的概率为22522355(2)0.8(10.8)100.80.20.05PC．（Ⅱ）5次预报中至少有2次准确的概率为551(0)(1)PP005011515510.8(10.8)0.8(10.8)CC10.000320.00640.99．（Ⅲ）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为1412340.80.8(10.8)40.80.20.02C．【例5】(互斥事件有一个发生的概率)(2008全国Ⅰ卷,理文20)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．【分析及解】设1A、2A分别表示依方案甲需化验1次、2次。B表示依方案乙需化验3次；A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知2A与B独立，且12AAAB11511(),5PAC142251(),5APAA214231532()5CCPBCC12121127()()()()()55525PAPAABPAPAPB∴8()1()0.7225PAPA【例6】(分布列与数学期望)(2008广东卷,理17)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【分析及解】（Ⅰ）的所有可能取值有6，2，1，2；126(6)0.63200P，50(2)0.25200P，20(1)0.1200P，4(2)0.02200P．故的分布列为6212P0.630.250.10.02（Ⅱ）60.6320.2510.1(2)0.024.34E.（Ⅲ）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为()60.72(10.70.01)(2)0.014.76(00.29)Exxxx依题意，()4.73Ex，即4.764.73x，解得0.03x．所以三等品率最多为3%．【例7】（茎叶图）(2008海南,宁夏卷,理,文)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①；②．31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356甲乙【分析及解】（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．【例8】（方差）(2008海南,宁夏卷,理)AB，两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为（Ⅰ）在AB，两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；（Ⅱ）将(0100)xx万元投资A项目，100x万元投资B项目，()fx表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求()fx的最小值，并指出x为何值时，()fx取到最小值．（注：2()DaXbaDX）X15％10％P0.80.2X22％8％12％P0.20.50.3【分析及解】（Ⅰ）由题设可知1Y和2Y的分布列分别为150.8100.26EY，221(56)0.8(106)0.24DY，220.280.5120.38EY，2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY．（Ⅱ）12100()100100xxfxDYDY2212100100100xxDYDY22243(100)100xx2224(46003100)100xx，当6007524x时，()3fx为最小值．Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3【例9】（正态分布）（2006湖北卷,理）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布100,70N.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表00xxPx0x01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857【分析及解】（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，90P190190PF907011210＝1－0.9772＝0.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，参赛总人数约为0228.012≈526（人）。（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则Px11PxFx70110x＝52650＝0.0951，即700.904910x，查表得1070x≈1.31，解得x＝83.1.故设奖得分数线约为83.1分。