高考数学解析几何1

解析几何中的几个问题（一）例1.（07全国Ⅱ-11）设F1、F2分别是双曲线12222byax的左右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且213AFAF,则双曲线的离心率为（B）A.25B.210C.215D.5解：如图所示：设)0(,2xxAF则xAF31又根据双曲线的定义axAFAF2221△ABC为直角三角形，2224)3(cxx得210ac例2.（湖南-9）设F1、F2分别是椭圆12222byax（ab0）的左右焦点，若在准线上存在一点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）A.]22,0(B.]33,0(C.)1,22[D.)1,33[解：如图，设右准线与x轴交点为H，则22HFPF,又221PFFF＝(∵PF1的中垂线l过F2)221HFFF即ccac22223ac312e33e又椭圆中e1所以离心率e的取值范围是)1,33[，选D例３：（07江西-16）设有一组圆Ck：Nkkkykx422231下面四个命题：A．存在一条定直线与所有的圆相切；B．存在一条定直线与所有的圆相交；C．存在一条定直线与所有的圆均不相交；D．所有的圆均不经过原点。其中真命题的代号是（B，D）（写出所有真命题的代号）解：∵圆的方程为2222231kkykx∴圆心为kk3,1,半径为22kr。可知圆心在直线：kykx31（K为参数）即)1(3xy上运动。故直线)1(3xy一定与所有的圆相交,故（B）正确对于（Ａ）可设存在直线0CByAx与圆相切，所以rd应与ｋ无关可是222231kBACkBkA中，ｋ不可能消去。故Ａ不正确对于（Ｄ），将（０，０）点坐标代入圆的方程，得到右左右左4222222121092131kkkkkkkk说明，所有的圆不经过原点，故（Ｄ）正确因此本题的正确答案是Ｂ，Ｄ。考查直线与圆的位置关系，和分析问题解决问题的能力，要注意对圆锥曲线中直线与圆锥曲线位置关系的复习。例４：（07辽宁－14）设椭圆1162522yx上一点Ｐ到左准线的距离为10，Ｆ是该椭圆的左焦点，若点Ｍ满足OFOPOM21，则2OM。OM解：设00,yxP，由椭圆方程知4,5ba，则53,3ec由椭圆第二定义得653101dePF又6535001xexaPF350x代入椭圆方程得3280y，取Ｐ点坐标328,35，324,320,3328,352121OFOPOM23243222OM三．例题解析1.已知ABC的一个顶点A(2,-4)，CB,的平分线方程分别为.063:;02:21yxLyxL则BC边的直线方程为067yx分析：本题突出了图形分析法，充分注意到角平分线的性质从图中可知A点关于角B的平分线的对称点A′A点关于角C的平分线的对称点A″都在直线BC上，所以求这A′,A″点即可确定直线AB的方程设A（2,-4）关于063yx的对称点00'yxA的坐标。则AA′中点24,2200yxM又11yxM在063yx上32406243221000xyyx则点A″的坐标54,52...HFPBACA‘A”l1l2根据两点式写直线可求得lBC：067yx注意：利用图形分析，抓住特点，特别注意，已知点关于直线对称点的常规求法。2.已知两点M(-2,0)，N(2，0），点P为坐标平面的动点。满足：0NPMNMPMN，则动点P的轨迹方程为xy82P(x,y)MCN设P（x，y）4,0,4MNMN222,,2yxMPyxMP据题意：xyxxyxxxyxyxyx84444024240,20,42422222222注意：平面向量的坐标表示及运算。3.点P（-3，1）在椭圆012222babyax的左准线上，过点P且方向为5,2a的光线经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为33。据题意作图：k=-5/2F(-3,1)x=-3oy=-2AP(-9/5,2)方向为5,2a的直线的斜率2525k入射光线所在直线方程为3251xy反射点为入射光线与2y的交点A，2,59A∵反射光线与向量（2，-5）在同一直线上∴反射光线在直线方程为59252xy令0y，得焦点坐标为（-1，0）1C又3,3,322aaca则离心率31ace，即33e注意：图形分析，光线的入射线，反射线的性质5.已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件：22PNPH，记为点P的轨迹方程为W。（Ⅰ）求W方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O为坐标原点，求：OBOA的最小值。NxyM(-2,0)0(2,0)PAB解：（Ⅰ）由22PNPH知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支实半轴长2,2,2bca故W方程为：212222xyx（Ⅱ）设A，B的坐标分别为2211,yxyx当ABx轴时，2121,yyxx，从而221212121yxyyxxOBOA当AB和x轴不垂直时，设直线AB的方程为mkxy与W的方程联立，消去y，得0221222mkmxxk22112kkmxx122221kmxx所以2142142212212121122222222222222121221212121kkkkkmkmkkmkmxxkmxxkmkxmkxxxyyxxOBOA010221kxx2OBOA综上：当A，B是W上不同两点时，2OBOA即OBOA的最小值为2.