高考数学解答题专题攻略3解析几何

高中数学辅导网高考数学解答题专题攻略——解析几何一、08高考真题精典回顾：1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且着焦点为1(2,0)F（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,AB时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上解(1)由题意：2222222211cabcab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为1122(,),(,),(,)xyxyxy。由题设知,,,APPBAQQB均不为零，记APAQPBQB,则0且1又A，P，B，Q四点共线，从而,APPBAQQB于是1241xx，1211yy121xxx，121yyy从而22212241xxx，（1）2221221yyy，（2）又点A、B在椭圆C上，即221124,(3)xy222224,(4)xy（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424sy即点(,)Qxy总在定直线220xy上高中数学辅导网方法二设点1122(,),(,),(,)QxyAxyBxy，由题设，,,,PAPBAQQB均不为零。且PAPBAQQB又,,,PAQB四点共线，可设,(0,1)PAAQPBBQ,于是1141,11xyxy（1）2241,11xyxy（2）由于1122(,),(,)AxyBxy在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程2224,xy整理得222(24)4(22)140xyxy（3）222(24)4(22)140xyxy(4)(4)－(3)得8(22)0xy0,220xy∵∴即点(,)Qxy总在定直线220xy上2（辽宁卷20）．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线1ykx与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若OAOB，求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|OA||OB|本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(03)(03)，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b，故曲线C的方程为2214yx．·······················3分高中数学辅导网（Ⅱ）设1122()()AxyBxy，，，，其坐标满足22141.yxykx，消去y并整理得22(4)230kxkx，故1212222344kxxxxkk，．···················5分若OAOB，即12120xxyy．而2121212()1yykxxkxx，于是22121222233210444kkxxyykkk，化简得2410k，所以12k．·····················8分（Ⅲ）2222221122()OAOBxyxy22221212()4(11)xxxx12123()()xxxx1226()4kxxk．因为A在第一象限，故10x．由12234xxk知20x，从而120xx．又0k，故220OAOB，即在题设条件下，恒有OAOB．·····················12分3.（湖南卷20）.（本小题满分13分）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x02.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解:（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1,y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm,ym）,则k=12121242myyxxyyy.从而AB的垂直平分线l的方程为().2mmmyyyxx高中数学辅导网又点P（x0,0）在直线l上，所以0().2mmmyyxx而0,my于是02.mxx故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是()mmyykxx，代入24yx中，整理得2222[()2]()0.mmmmkxkykxxykx（·）则12xx、是方程（·）的两个实根，且2122().mmykxxxk设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则22222121212()()(1)()lxxyykxx22221212122222224222222200(1)[()4]4(1)()2()44(1)[]4(4)(4)4(1)164(1)[2(1)]4(1)[2(3)].mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxxxkxxxyxyxyyyxyyyxxxyxxyx因为02my4xm=4(xm-2)=4x0-8,于是设t=2my,则t(0,4x0-8)记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.若x03,则2(x0-3)(0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即2my=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4x0-8）上是减函数，所以0l216(x0-2),l不存在最大值.综上所述，当x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.二、09高考解析几何分析与预测：解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一.直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题，通常学生在解决直线和圆锥曲线问题上，往往要做三步，一就是联立方程组，二就是求判别式，并且判别符号..第三，运用韦达定理，如果这三步做完了，就是解不等式，或者求函数的值域或定义域的问题了.具体如下：高中数学辅导网(1)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重.由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”.(2)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.(3)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.(4)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.(5)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点.(6)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向.求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥.（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决1若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;2若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决；2曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）三、高考热点新题：1.已知动点P到定直线2x的距离与到定点F(1,0)的距离的差为1.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若O为原点，A、B是动点P的轨迹上的两点，且AOB的面积S△AOB＝m·tan∠AOB，试求m的最小值；(3)求证：在（2）的条件下，直线AB恒过一定点.并求出此定点的坐标.xyybMAPBO22xpy高中数学辅导网如图，已知抛物线)0(22ppyx和直线)0(bby，点),(btP在直线by上移动，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为,AB，线段AB的中点为M.(1)求点M的轨迹；(2)求||AB的最小值；3．已知F1,F2是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点,点P（1，22）在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足2PMMF．(1)求椭圆的标准方程;(2)过F1作不与x轴重合的直线l,l与圆2222xyab相交于A、B．并与椭圆相交于C、D．当22FAFB,且2[,1]3时,求△F2CD的面积S的取值范围．4.如图，已知直线l与抛物线24xy相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.(1)若动点M满足2||0ABBMAM，求动点M的轨迹C；(2)若过点B的直线/l（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.高中数学辅导网设椭圆2211xym的两个焦点是1(,0)Fc与2(,0)Fc(0)c，且椭圆上存在点M，使120MFMF.(1)求实数m的取值范围；(2)若直线:2yx与椭圆存在一个公共点E，使得12||||EFEF取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；(3)在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为(0)kk的直线，与椭圆交于不同的两点A、B，满足AQQB，且使得过点Q，N（0，－1）两点的直线NQ满足0NQAB？若存在，求出k的取值范围