高考数学试题与教科书的链接方式初探

高考数学试题与教科书的链接方式初探●成都市龙泉驿区华川中学校刘星伟（一）以教科书内容为基础，以高等数学知识为背景实现链接中学所学数学知识是相关数学分支体系中最为基础部分，如果运用类比等思维方式进行延伸、拓展、既再现了数学知识发生、发展的过程，保证了试题的科学性，又贴近中学生的认知水平，还能激发中学生探求新知识的欲望。例如：（２００２年上海高考数学试题第２２题）规定＝Ｃｍｘ=!)1).....(1(mmxxx其中ｘ∈Ｒ，ｍ∈Ｎ＋且Ｃ０ｘ＝１这是组合数的一种推广（１）求Ｃ５－１５的值（２）组合数的两个性质：①Ｃｍｎ＝Ｃｎｎ－ｍ②Ｃｍｎ＋Ｃｎｎ－ｍ＝Ｃｍｎ＋１是否都能推广到Ｃｍｘ给出证明；若不能，请说明理由；（３）已知组合数Ｃｍｎ是正整数，证明当ｘ∈Ｚ，ｍ时Ｃｍｘ∈Ｚ教科书基础：二项式定理及组合数。高等数学背景：组合数学中牛顿二项式定理及组合数。由学生熟悉的内容二项式定理、组合数进行类比、拓展，依照勤于思考的学生的思维方式Ｃｍｎ对ｎ∈Ｎ*有意义并具有相关性质，那么对Ｃｍｎ中ｎ拓展到Ｒ上是否也有意义？是怎样的意义？是否具有相应性质？很自然地使知识结构深入发展。这种试题既考查了学生对中学基础知识掌握状况，又考查了学生的思维能力和探索创新的能力。题目情境亲切，又暗藏探索的学生学习教科书知识时，自然产生的问题。（二）以教科书中基本数学方法实现教科书与高考试题的链接教科书中积淀着解决问题常用的一些重要的数学方法，这些方法不仅是人类思维的结晶，也是提高学习者思维能力的重要基础，更是继续深入学习的保障。高考试题在这方面每卷都有充分的体现。例如：（２００３年上海春季高考试题）设ｆ（ｘ）＝221X利用课本中推导等差数列的前ｎ项和的公式的方法，可求得ｆ（－５）＋ｆ（－４）＋…＋ｆ（０）＋…＋ｆ（５）＋ｆ（６）的值为。等差数列的求和方法是“倒序相加”。学生可以说人人都知道，如果没有认真体会方法真正领会了方法的实质，此题又给人一种“柳暗花明又一村”的惊喜。（三）以教科书中基本数学思想实现教科书与高考试题的链接数学思想是策略性知识，从帕金斯的智力公式：智力＝Ｐｏｗｅｒ＋ｔａｃｔｉｃｓ＋内容知识，发展学生智力最为经济有效的方法是培养学生应用策略性知识的能力。高考试题中可以毫不夸张地说：每卷每题都蕴含着数学思想的应用。例如：（教科书第一册下第３７页例２）已知ｓｉｎα＝23，α∈（2，π）ｃｏｓβ＝43，β∈（π，23此题从知识角度看，学生求解没有大的困难，但却蕴含着化归转化思想。如果没有真正领会，对一些高考试题就难以完整、高效、简捷地求解。以下是相关高考试题：１、（０４年河南高考试题卷文６）设α∈（０，2），若ｓｉｎα＝53，则2ｃｏｓ（α＋4）＝２、（０５年全国高考试题文１７）已知：α为第二象限的角，ｓｉｎα＝53，β为第一象限的角ｃｏｓ135β＝，求ｔａｎ（２α－β）的值。３、（０６年上海高考试题文１７）已知：α是第一象限的角，ｃｏｓα＝135，求)42cos()4sin(的值．４、（０５年天津高考试题文１７）已知：ｓｉｎ（α－4）＝1027，ｃｏｓα＝257，求ｓｉｎα及ｔａｎ（α＋3）（四）以教科书中典型例、习题分析概括的结论为模型实现教科书与高考试题的链接教科书中的一些典型例、习题，如果教师引导学生进行分析、归纳可以概括出一类问题的基本模型，这样可以使学生的知识结构占据一个较高的支撑点，有利于学生进行下位学习，为继续学习打好坚实的基础。例如：（教科书第一册复习题二，Ｂ组第二题）证明：（１）若ｆ（ｘ）π－＝ａｘ＋ｂ则ｆ（221xx）=2)()(21xfxf（２）若ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ则f（221xx）2)()(21xfxf由此题引导学生分析，归纳可以概括出一类具有共同特征的函数：凸（或凹）函数。高考试题中以此题引申编制的试不少。高考试题：１、（２００５年湖北卷理）在ｙ＝２ｘ，ｙ＝ｌｏｇ２ｘ，ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｃｏｓ２ｘ这四个函数中，当０＜ｘ１＜ｘ２＜１时，使ｆ（）＞恒成立的函数的个数是（）Ａ０；Ｂ１；Ｃ２；Ｄ３２、（２００６年重庆卷）如图所示，单位圆的长为ｘ，ｆ（ｘ）表示的弦所围成的弓形面积的２倍，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像是（）BAxOyxOOxyByxyxOOA３、（２００６年四川高考卷理２２题）已知：已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋2x+ａｘ（ｘ＞０），ｆ（ｘ）的导函数是ｆ′（ｘ），对任意两个不相等的正实数ｘ１，ｘ２证明：（１）当ａ≤０时，2)()(21xfxf＞f（221xx）（２）当ａ≤４时，｜ｆ′（ｘ１）－ｆ′（ｘ２）｜＞｜ｘ１－ｘ２｜（五）以教科书中例、习题为原型由一般到特殊实现高考链接教科书中的例、习题，常有一些命题具有一般性的意义。把这些命题特殊化编制高考试题，考查学生对基础知识、基本方法的掌握水平。在高考试卷中常有出现。例１：（教科书第一册上，第１３２页，习题３．３中第１０题）已知数列｛ａｎ｝是等差数列，Ｓｎ是其前项和，求证：Ｓ６１２－Ｓ６１８－Ｓ１２成等差数列。设ｋ∈Ｎ*ｋ２ｋ－Ｓｋ３ｋ－Ｓ２ｋ由此题特殊化可得：２００７年高考数学试卷（辽宁卷）第１０题设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ３６＝３６则ａ７＋ａ８＋ａ９＝（）（Ａ）６３（Ｂ）４５（Ｃ）３６（Ｄ）２７例２：（教科书第二册上第８５页例２）求证：到圆心的距离为ａ（ａ＞０）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。此题特殊化可得：２００７年高考数学试卷（四川卷）文科第１５题已知⊙ｏ的方程是ｘ２＋ｙ２２＋ｙ２。（六）以教科书例、习题进行变式实现与高考试题的链接教科书中的例、习题是高考数学试题不断创新的源泉。以教科书例、习题进行适当变式成为高考数学试题，不仅背景公平，而且有利于考查多数学生知识基础和思维能力的真实状例如：（高中数学第二册上８８页第１９题）点（ｘ、ｙ）到两定点Ｍ１，Ｍ２距离的比是一个正数ｍ，求点Ｍ的轨迹方程，并说明是什么图形。若动点Ｐ满足｜ＰＡ｜＝２｜ＰＢ｜，则点Ｐ的轨迹所包围的图形的面积等于（）（Ａ）π；（Ｂ）４π；（Ｃ）８π；（Ｄ）９π变式２、（２００１年广东、河南高考２１题）设Ｆ１，Ｆ２为椭圆92x+42y＝１的两个焦点，Ｐ为椭圆上的一点，已知：Ｐ，Ｆ１，Ｆ２是一个直角三角形的三个顶点，且｜ＰＦ１｜＞｜ＰＦ２｜，求的值。（一）以教科书习题中学生易错点实现高考链接在教科书学习过程中，学生难免存在概念、定理理解不深刻，方法运用不准确，思维不严谨等诸多不足.高考试题有意在这些方面设置考题，以考查学生对概念的理解、方法的运用及数学思维品质等基本数学素质。例如：（教科书第141页，复习参考三，B组1）已知：数列｛an｝的前n项和Sn=an-1（a是不为0的实数），那么｛an｝（）（A）一定是等差数列（B）一定是等比数列（C）或是等比数列，或是等差数列（D）既不可能是等比数列，也不是等差数列。S1（n=1）此题应用an=过程中，易产生错误:忽略n≥2条件，选择（B）。Sn-Sn-1（n≥2）高考试题有意在此设置陷阱，考查学生数学基本素质.如（四川2006年文科第17题），数列｛an｝的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）（1）求｛an｝的通项公式；阅卷场中发现恰恰有很多学生在此马前失蹄，忽略n≥2的限制条件导致失分。（七）由教科书中若干例题、习题综合实现与高考链接以教材中的多个例、习题为原型，通过对其解法，知识联系的有机融合,形成有一定综合性的试题。例如：（2006年山东考文科数学第17题）设函数f（x）=2x3-3（a-1）x2+1其中（a≥1）（1）求f（x）的单调区间（2）讨论f（x）的极值此题可由教科书第三册选修（1）第54页复习参考题二,第4（3）题“求函数y=x3-12x+2的单调区间”和第5题（3）“求函数Y=3x3-9X极值”的基本解法，融合分类讨论思想于其中组合而成。（二）由教科书中不同部分知识、方法及相应的数学思想方法综合实现与高考的链接。现行高考不再生硬地将考试划分为代数、三角、立体几何、解析几何等板块，也不过分追求涉及知识点的多少，覆盖面的大小，而是以数学思想方法立意，将其有机地融合，在知识网络的交汇处构造试题。例如：（2006年四川高考题理21、文22）已知两定点F1（-2，0），F2（2，0）满足条件：|2PF|-|1PF|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果|AB|=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。此题可分解为以下几个关键步骤：①由|2PF|-|1PF|=2求得曲线E的轨迹方程x2-y2=1（x＜0）方法来源于高中数学第二册，（上）第106页例3（爆炸点所在的曲线方程）②已知弦长|AB|=63解得K=-25基本方法来源于数科书第二册（上）第118页例3③由OA+OB=mOC设D是弦AB中点，则OC=m2OD此处解法来源于高中数学第一册（下）第106页例4④由教科书学习过程中提炼的中点弦问题求法得KOD·kAB=22ab=1得KOD=KOC=ABk1=-52得OC：y=-52x⑤y=-25x-1联立y=-52x得D（-25，4）此解法源于高中数学第二册（上）第50页例8y=-52x联立x2-Y2=1，得C（-5，2）此解法来源于高中数学第二册（上）第132页复习参考题八，A组，第13题⑥由OC=m2OD易得m=4。此题解法来源于教科书高中数学第一册（下）第150页复习参考题五，A组18题。⑦由点到直线距离公式得：点C到直线AB距离为1/3，再由三角形面积公式S=21|AB|×31=3从整个解题过程的分析，我们可以看到此题以“数形结合”思想立意，利用向量与解析几何基础知识、基本方法的交汇、融合设计出综合性很强的大题。高考数学试题与教科书的链接方式是丰富多彩的，这里所做的仅仅是常用链接方式的探讨。但愿这种探讨能使我们的高考数学复习更具有针对性和效率。主要参考文献：［1］人民教育出版社中学教研室编著,全日制高级中学教科书—数学,2000年3月.［2］北京点知教育研究院,《2006年全国及各省市高考试卷总汇及详解》—数学,中国致公出版社.［3］任志鸿,《十年高考分类解析与应试策略》,南方出版社,2006年7月.［4］皮连生,《智育心理学》,人民教育出版社，2000年3月.［5］谢全苗，刘淑珍。变式教学——研究性学习的一种模式，中学数学教学参考，2004年10月.