高考数学复习点拨例析抛物线在生活中的应用

页高考我做主@高考试题库例析抛物线在生活中的应用山东抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是建立恰当的直角坐标系，求出抛物线方程，充分利用抛物线的几何性质，通过方程解决实际问题.例1一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的两边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？说明理由.分析：先由题意建立坐标系.求出抛物线方程，将实际问题转化为抛物线的相关问题来解决.解：建立坐标系如图1，设矩形与抛物线的接点为A、B，则(3,3),(3,3)AB.设抛物线方程为22(0)xpyp，将B点坐标代入得392(3),2pp.∴抛物线方程为)03(32yyx。∵车与箱共高4.5m，∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m.设抛物线上点D的坐标为2000336(,0.5).,222xxx则.0||2||63DDx,故此车不能通过隧道.点评:涉及到与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建系后坐标的正负与其实际意义。例2一个酒杯的轴截面是抛物线的一段弧，它的口宽是的104，杯深20，在杯内放一玻璃球，玻璃球的半径r取何值时，才能使玻璃球触及杯底?分析：解决要点就是建立恰当坐标系，将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题.解：在酒杯轴截面内，玻璃球成了位于抛物线内的一个圆，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系如图2，则抛物线方程可设为)0(22ppyx，依题意得点)20,102(在抛物线上，,1,20240pp故抛物线的方程为)200(22yyx，若玻璃球触及杯底，圆与x轴切于原点，这时圆心坐标为),0(rA，在抛物线上任取一点),(yxP,则22222)1(2)(||ryryryxAP2212)]1([rrry，10,01rr。故当玻璃球的半径r取值范围为1,0时，才能使玻璃球触及杯底.点评：本题关键将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题，利用二次函数求最值的方法使问题获解。例3已知探照灯的轴截面是抛物线xy2，如图所示，表示平行于对称轴x轴的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为)0(aa,a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程最短？分析：关键就是利用抛物线的光学性质建立目标函数.解：由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点)0,41(F.设P点的坐标为),(2aa，则直线PQ的方程为：)41(412xaay，即xyayaax220)14(4与联立，解得ayay或41，由图3可知)41,161(2aaQ，20yxO1042图OxOPFQyxy23图1图(3,3)B(3,3)A23yx6页高考我做主@高考试题库根据抛物线的定义得11)41(21161||||||222aaaaFQPFPQ，当且仅当aa41，即21a时等号成立.∴当21a从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短.点评：从抛物线的焦点处发出的光线照到抛物线上，经反射后平行与抛物线的轴；反之，平行抛物线的光线照到抛物线上，经反射后通过焦点，这一光学性质被广泛应用于各种设计中。