高考数学总复习提素能高效题组训练7-2

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年烟台调研)棱长为2的正四面体的表面积是()A.3B．4C．43D．16解析：每个面的面积为：12×2×2×32＝3.∴正四面体的表面积为：43.答案：C2．(2013年福州质检)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍B．22倍C.2倍D．32倍解析：由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V＝43πR3，知体积扩大到原来的22倍．答案：B3．(2013年哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A.95－π2cm2B.94－π2cm2C.94＋π2cm2D.95＋π2cm2解析：该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．S表面积＝S上长方体＋S下长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2·π(12)2＝94＋π2.答案：C4．(2013年佛山模拟)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.83cm3B.43cm3C.23cm3D.13cm3解析：由三视图知几何体为三棱锥，如图所示：V＝13S△ABC·PO＝13×12×2×2×2＝43(cm3)．答案：B5．(2013年西安模拟)有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为()A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确解析：此几何体是个圆锥，r＝3cm，l＝5cm，h＝4cm，S表面＝π×32＋π×3×5＝24π(cm2)．V＝13π×32×4＝12π(cm3)．答案：A二、填空题6．(2013年湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求高为22，所以体积为V＝13×1×1×22＝26.答案：267．(2012年高考浙江卷)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.解析：三棱锥的体积为：13×1×32×2＝1(cm3)．答案：18．(2013年南京调研)如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13(cm)．答案：139．(2013年武汉调研)已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．解析：根据三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为2，由空间几何体的所有顶点都在一个球面上，设球半径为R，则R2＝2332＋1，解得R2＝73，故球的表面积S＝4πR2＝28π3.答案：28π3三、解答题10．(2013年阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解析：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V＝13·S矩形·h＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝42＋42＝42.故几何体的侧面面积为：S＝2×12×8×5＋12×6×42＝40＋242.11．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解析：(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋22＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.(2)设正三棱锥P­ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP­ABC＝VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PAC＋VO­ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又VP­ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝2332－2318－12＝6－2.∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.12．(能力提升)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析：(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP，EP，CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA­BCD＝VA­BPC＋VD­BPC＝13·S△APC·AP＋13S△BPC·PD＝13·S△BPC·AD＝13·12·aa2－x24－a24·x＝a123a2－x2x2≤a12·3a22＝18a3当且仅当x＝62a时取等号.∴该四面体的体积的最大值为18a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为62a，∴S表＝2×34a2＋2×12×62a×a2－64a2＝32a2＋62a×10a4＝32a2＋15a24＝23＋154a2.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年济南模拟)如图所示，在正三棱锥S­ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S­ABC外接球的表面积是()A．12πB．32πC．36πD．48π解析：在正三棱锥S­ABC中，易证SB⊥AC，又MN綊12BS，∴MN⊥AC.∵MN⊥AM，∴MN⊥平面ACM.∴MN⊥SC，∴∠CSB＝∠CMN＝90°，即侧面为直角三角形，底面边长为26.此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则(2－R)2＋26×32×232＝R2，∴R＝3，∴外接球的表面积是36π.故选C.答案：C2．(2011年高考四川卷)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．解析：解法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rcosα，圆柱底面半径为Rsinα，∴S圆柱侧＝2π·Rsinα·2Rcosα＝2πR2sin2α.当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.解法二设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2.∴S圆柱侧＝2πr·2R2－r2，S′圆柱侧＝4πR2－r2－4πr2R2－r2.令S′圆柱侧＝0，得r＝22R.当0r22R时，S′0；当22RrR时，S′0.∴当r＝22R时，S圆柱侧取得最大值2πR2.此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.答案：2πR2