高考数学题中“题眼”的理解与破解

高中数学论文1高考数学题中“题眼”的理解与破解温岭市新河中学李巧敏摘要：在高考数学中，命题者往往以不同的载体考查数学知识或数学模块，而如何让考生能在有限的时间内捕捉到命题者的意图。这就需要我们能在这个载体上找到题目的关键之处，即题目的题眼，本人以例说明各种题眼的类型，以及如何寻找、理解题眼，最终破解题目。关键词：题眼破解业内人士常用“题眼”这个术语，有人认为这个词是由围棋中的“棋眼”衍生而来，《汉语大词典》中对“棋眼”的解释是“围棋一方子所留的空格，为对方不能下子处”，而“题眼”的概念却大都含有“试题主要落点”或“解题”的关键处之意。棋有棋眼，文有文眼，题有题眼。如何在高考数学题中找到题眼，理解题眼，破解题眼，则有事半功倍，四两拨千斤的作用。1．理解结论中的题眼，破解题目本质。在高考数学解答题中，基本上蕴藏这有一思想，找到这种思想就等于找了解决的方法。而找的过程或需要经验或需要题眼。1.1数列中“消”字的破解。数列是高中的一个重要知识点，也是高考必考的大题，而解决此类问题的关键在于“消”，如何消则看题眼而定。例1.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）记bn=211nnaa，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+132nT=1本人在实际的教学过程中发现第（3）小题对很多学生来说有难度，没有头绪，无从下手。以下是课堂教学片段。师：同学们，在数列求和过程中主要手段是什么？生：用错位相减、裂项相消等方法消项。师：非常好，主要是消。那如何才能消呢？生：一般好象连续的才能消，比如nnnaaaaaaaas1433221师：我们发现（3）中211nnaa和不连续不能相消。应该怎么处理呢？生：让21na消失，出现连续项就可以了。师：对，21na是本题的题眼，是解决本题的关键，怎么消失，怎么出现呢？生：2102nnaaa1(2)nnnaaa11111()22nnnaaa11122nnnaaa师：好，出现了连续项了。生：又112nnnbaa1112()nnnbaa12nSbbn…+b122311111112()nnaaaaaa…+11112()naa高中数学论文21221131,2,31nnnnaaa22131nnS又213nnT2131nnST.例2．设数列{}na满足条件：1(2)aaa，且21(N)2(1)nnnaana．（1）证明：2na；（2）证明：122(2)naaana；对于第2小题，直接证明非常困难，于是试着让学生寻找题眼，结果很多学生发现右边有个“2n”，本人追问如何才能“2n”。学生回答因为右边有“2n”，而左边是naaa21。所以要把左边的每一项和2比较方能得到这样的效果，于是∵212(1)nnnaaa，∴211(2)2(1)nnnaana又∵-11122221nnnnaaaa，111112211=01111nnnnnaaaaa，-1-1112222212nnnnnaaaaa．∴-121212222(2)222nnnnaaaan，∴12(2)(2)(2)naaa1111(2)(1)242na112(2)112na12(2)(1)2(2)2naa，∴122(2)naaana．类似还有很多的高考题目需要找题眼才能找到捷径。1.2函数中“恒”字的破解“恒”问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。“恒”的理解：对于变量在某个区间的任意值都成立，“恒”的破解：转化以后求函数在区间的最值，函数与方程方法，利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况的研究。分离参数法，将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：)(xfa或)(xfa或)(xfa恒成立的形式。则)(xfaa的范围是)(xf的值域。)(xfa恒成立min)(xfa；)(xfa恒成立max)(xfa。例3：已知函数f(x)=xaxx22,x∈),1[.（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意的x∈),1[，0)(xf恒成立，试求a的取值范围。解法一：分离参数，f(x)0在x∈),1[恒成立，即2x2xa0在),1[恒成立，2maxa(-x2x)3∴a-3解法二：根的分布，令h(x)=2x2xa，则ⅰ)44a0a1，得ⅱ)44a0h(1)，0∴-3a≤1，x01y3x01yM（x）N（x）高中数学论文3综上∴a-3解法三：数形结合，2x2x-a，令M(x)=2x2x，N(x)=-a，M(x)N(x)即表明当x∈),1[时，M(x)图像恒在N(x)上方，∴a-3。“恒成立”问题的题眼是“恒”，解决此类问题的主要是运用等价转化的数学思想。类似的还有恒有解，恒相等等。2．理解信息中的题眼，破解出题者的本意。对于一道高考题，命题者往往事先准备好考什么，用什么的载体考，而这些思想不经意的暴露在题目的表面，如果考生能捕捉到这些题眼，对解题是决定性的。例4：这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为1,1,0,0xyzn；（2）1nn（将当前1n的值赋予新的n）；（3）2xx（将当前2x的值赋予新的x）；（4）2yy（将当前2y的值赋予新的y）；（5）zzxy（将当前zxy的值赋予新的z）；（6）如果7000z，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印,nz；（8）程序终止．由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________．请写出计算过程：分析：出题者的意图是什么呢？我们不难看出，问题是一个循环、迭代的过程．所谓程序，就是一步一步的操作．因此，为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次：nXyz判断初始值0110z7000,返回（2）一轮操作1325z7000,返回（2）二轮操作25425z7000,返回（2）三轮操作37881z7000,返回（2）…………就此操作下去，并不难得出答案，这也是本题的一种计算方法．从另一个角度考虑，本题中我们比较难以理解的是这样的语句：“1nn；2xx；……”，虽然题目中已经给出很好的解释，但是，按照我们通常的认识，应该用不同的符号来分别表达新值与旧值，如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同，以及它们之间的联系呢？事实上注意到在整个计算的过程中，我们发现题眼从转化的过程中找到了等差、等比数列。一方面，n的值似乎只起到一个计算第几轮的作用，另一方面，随着n的变化，,,xyz的值随之变化．从这一个角度，不难想到，数列是一种较好的表示方法．设ni时，,,xyz的值分别为,,iiixyz．依题意，011,2nnxxx．所以，数列nx是等差数列，且21nxn．011,2nnyyy．所以，数列ny是等比数列，且2nny．010,nnnnzzzxy．所以，231122325272212nnnnzxyxyxyn．高中数学论文4于是，23412325272212nnzn．以上两式相减，得23132222222212nnnzn211222122122nnnnn．依题意，程序终止时，17000,7000nnzz，即12122700023227000nnnn，从而，可以求得8,7682nz．抓住了题眼：转化的过程其实是等差和等比数列。把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将是是解决问题的基本途径．浏览全文捕捉命题者的意图，找到最佳解决方法。3．理解题型中的题眼，破解统一解法在高考中不仅重视基本的方法和能力，还重视基本的题型，不同的题型有着不同的方法，而不同的题型有不同的题眼，找到了题眼等于找到了方法，才能做到“到什么山唱什么歌”3.1立体几何中“折”字的破解例5如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，∠ABC=90。，E、F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F的两点的最短路径的长度为______。图1图2题眼：化折为平，从几何体的表面连线的最小值问题，不可能从内部直接连接，只有设法转化到平面中来解决，对多面体，将其表面展开放平，旋转体的曲面则展开拉平，分析：将直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面沿侧棱AA1展开（如图2），问题转化为在平面图形中，求E、F连线的最小值。根据平面几何知识，连接EF的线中直线段最短，在直角三角形EA1F中，222113222||122EFAEAF（）3．2解析几何中“最”字的破解最值问题常见的解法有两种：代数法和几何法。若条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目的条件和结论能明显一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、函数的单调性、三角函数的有界性、基本不等式等，这些方法叫代数法。例6：已知抛物线以y轴为准线且过点A（3，-3），其顶点坐标为ab2（，），求a+b的最大值。解析：由抛物线的定义可得焦点F（a，b），进而得22(3)(3)9ab方法1：（三角代换法）设a-3=3cosθ，b+3=3sinθFEC1B1A1CABEA1C1B1A1ACBAF高中数学论文5则a+b=3cosθ+3sinθ=32sin()4故max()32ab方法2：（基本不等式）因为22()[(3)(3)]abab2222(3)2(3)(3)(3)2[(3)(3)]18aabbab所以||32ab故max()32ab方法3：（判别式法）设a+b=m，则b=m-a，代入22(3)(3)9ab，可得2222(6)(3)0amam，由22[2(6)]8(3)0mm得3232m故max()32ab方法4：（向量法）设p=(a-3,b+3),q=(1,1),由pq≤|p||q|，则(3)(3)32ab故max()32ab方法5：（线性规划法）设z=x+y，由22(3)(3)9xy表示的平面区域（如图）作直线l:x+y=0把直线l向右上方平移至l′位置时，直线经过可行域上的点M，此时z=x+y取得最大值；易求得3232(3,3)22M可得max()32xy，则max()32ab。乔治·波利亚(GeorgePolya,1887—1985)为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。在解答高考数学题的时候，需要最初的想法，我们常常追求“为什么能想到”，“怎么想到”，而这些问题的本质就是题眼的寻找和破解。而这些就是提高解题能力的关键，我们的先辈数学家们，已经为我们创造出了很多的数学思想方法，我们应该很好地体会它，理解它，并且要灵活地应用它。参考文献：1、肖传芳.解答高考数学题应学会捕捉“题眼”,数学通讯.2000.12、杨文举.立体几何解题要善于寻找“题眼”.中学数学教学参考,2002.8oxyMll′