高考数学题审题“八环节”

1高考数学题审题“八环节”江苏省东海高级中学（222300）徐明审题是解题的基础,是正确、迅速解题的前提.著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图.”事实上,学生常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中.本文对高考数学解题中,审题时要注意的几个环节综述如下.一.审视条件条件是解题的主要材料,充分利用条件间的内在联系是解题的必径之路.审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息,发挥隐含条件的解题功能.例1.(2001年全国高考题)过点)1,1(A、)1,1(B且圆心在直线02yx上的圆的方程是()A.4)1()3(22yxB.4)1()3(22yxC.4)1()1(22yxD.4)1()1(22yx解析:作为本题的常规解法,设圆的方程为222)()(rbyax,由题设条件布列方程组,02,)1()1(,)1()1(222222barbarba解得,4,1,12rba故选C.若利用好条件的凸显信息,考虑到选择题的特殊性,可检验四个选择支是否满足条件:首先选项(B)、(D)的圆心不在直线02yx上,其次选项(A)的圆不过点)1,1(A.若挖掘条件的隐含信息,把握圆的几何特征(垂径分弦),则有简解:圆心在线段AB的垂直平分线xy上,由02,yxxy得圆心坐标)1,1(.二.审视结论结论是解题的最终目标,解决问题的思维很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论要探索已知条件和结论间的联系与2转化规律,善于从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.例2.(2002年全国高考题)设数列}{na满足.,3,2,1,121nnaaannn(I)当21a时,求432,,aaa,并由此猜想na的一个通项公式;(II)当31a时,证明对所有的1n,有(i)2nan;(ii)2111111121naaa.解析:本题的(I)及(II)之(i)不难解决,(II)之(ii)难倒了不少考生.关键在于大部分考生不能正确利用结论信息,错误的利用结论2nan,想通过31514111111121naaan证明,但nkk131.结论要证明naaa11111121小于等于21,注意到41111a,而161814121211n,故只要能证明121218141111111nnaaa即可,即要证明121nna.由121nnnnaaa,得2)2(2)(11nnanaaannnn)1(2na,从而111122)31(2)1(1nnnnaa,问题得证.若用数学归纳法证明,更要注意结论的分析.因为当n从k到1k时,用2111111121kaaa证明2111111111121kkaaaa,由于只增加正项111ka,而无法证明,所以需要把原结论加强.此时,可以通过证明新结论naaa1111112112121n,完成证明.三.审视结构结构是数学问题的搭配形式,某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系.审视结构要对结构进行分析、加工和转化,以实现解题突破.例3.(2000年全国高考题)设}{na是首项为1的正项数列,且21)1(nan012nnnaana)3,2,1(n,则它的通项公式是na.解析:从显式结构看,递推关系式0)1(1221nnnnaanaan较为繁3杂,但本质是关于1na与na的二次齐次方程,形如0)1(22nbaban.将其结构式分解变形,得0)]()1[(11nnnnaanaan,注意到01nnaa,得nnnaan1)1(.再一次认识新结构,容易知道数列}{nna是常数数列,从而有11anan,即有nan1.四.审视数值数值是数学运算中最基本的单元,特殊的数值往往能暗示解题的方向.审视数值要善于观察、分析数值,从数值本身的变化,数字与数字之间的联系去寻找解题的思路,获得优美的解法.例4.(2002年全国高考题)已知函数221)(xxxf,那么)21()2()1(fff)41()4()31()3(ffff.解析:本题侧重思维能力的考查,但实际情况事与愿违.多数考生是硬算出来的:原式271711716101109515421,没有领会“多考一点想,少考一点算”的高考命题意图.感觉敏锐的考生通过观察,凭借直觉应该抓住数值变化上的暗示信息:对于函数)1()(),(afafxf的值会比较特殊,由1111)1()(222aaaafaf,得)21()2()1(fff)41()4()31()3(ffff271321.即使感觉不那么敏锐,在算出)21()2(ff之后,也应该有所领悟,比较快地得出结果.若将求值式改为)20021()2002()31()3()21()2()1(fffffff,则更能体现上述思路的优越性,突出考查考生的思维灵活性.五.审视形象形象是数学问题的几何形式.审视形象要把握形象的本质特征,或赋予问题中的某些代数关系以几何意义,借助图象作出透彻分析,从而提供解题途径.例5.(2002年北京市高考题)已知)(xf是定义在)3,3(上的奇函数,当30x时,)(xf的图象如图1所示,那么不等式0cos)(xxf的解集是()4A.)3,2()1,0()2,3(B.)3,2()1,0()1,2(C.)3,1()1,0()1,3(D.)3,1()1,0()2,3(解析:本题以函数图象为载体,考查函数与方程及不等式的关系.只要利用函数的奇偶性,在同一坐标系内画出函数)(xf与xcos在)3,3(上的图象(如图2),根据xxfcos),(的函数值异号,立刻可以找到x的取值范围)3,2()1,0()1,2(.六.审视范围范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束范围,从整体上把握问题的解决方向.例6.(2000年全国高考题)设函数,1)(2axxxf其中0a.(I)解不等式;1)(xf(II)求a的取值范围,使函数)(xf在区间),0[上是单调函数.解析:在当年高考试题的阅卷过程中,发现众多考生都照搬无理不等式的一般解法:021111011122222axxaaxaxxaxaxx)()(致使解题过程复杂化.分析不等式112axx,注意“112x”与“0a”的范围限制,挖掘“0x”这一隐性范围,将不等式化为22110)(axxx求解,同时解二次不等式02122axxa)(也紧扣该范围,会使解题过程更加优化与简单:0210110112222axaxaxxxaxx)()(所以,当10a时,原不等式的解集为}|{2120aaxx;当1a时,原不等式的解集为}|{0xx.而第(II)问讨论函数单调性,对)11)(()()(2221212121axxxxxxxfxf(图1)yO123x(图2)yO123-3-15的正负判断,也要注意1211xx与2221xx的范围特征.七.审视语言语言是问题的表述方式.审视语言要理解问题的文字语言、符号语言、图表语言,并正确地进行转换,以便理解题意,正确解题.例7.(2002年上海市高考题)某工程由下列工序组成,则工程总时数为天.解析:本题用表格形式给出某一工程各工序的紧前工序与该工序的工时数.为了方便理解题意,理顺各工序间的关系,可以将该工程用树图形式表示(如图3).考虑到并行工序(a与b、d与e)可同时进行,而串行工序(如a与c、c与d、d与f)只能在前一工序完成后,下一工序才能开始.故工程总时数为3+2+5+1=11(天).八.审视方法方法是解题的手段,数学思想方法是问题的主线.审视方法,选择适当的解题方法,往往使问题解决事半功倍.例8.(2000年全国高考题)过抛物线)0(2aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点.若线段PF与FQ的长分别是p、q,则qp11=()A.a2B.a21C.a4D.a4解析:本题属直线与抛物线相交的弦长问题,解题的一般方法是联立方程组,通过解方程,利用根与系数的关系求解,但明显非常繁琐,不是一道选择题应有的工作量.仔细分析题意,qp11是定值,不随直线位置的变化而变化.因此,可以采用特殊化手段,只考虑特殊位置的情况:直线平行于x轴时,由定义得aqp21,所以aqp411.或将直线的位置极限化,当直线垂直于x轴时,qap,41,所以aqp411.工序abcdef紧前工序工时数(天)－2－3a、b2c5c4d、e1f23252411abcde(图3)