高考数学题涉及的数学思想方法能力

高考数学题涉及的数学思想，方法，能力梁关化，2015，5，25A、数学思想A1、函数思想现实中存在许多变量，而变量与变量之间存在着直接或间接的关系。如果一个或几个变量的变动，引起另一个变量的变动,如果变量之间存在函数关系,我们就可以建立函数模型,决它们的问题。在数学中,我们常常遇到很多含参数的问题,如含参数的方程、含参数的不等式等，这时,我们可以用函数思想去处理。例1．若不等式axx56对一切xR实数恒成立，求a.。（a1）。。。。。。A2、方程思想求未知数，使之满足一定条件，这是数学中出现最多的问题。这类问题，我们可以通过设未知数，建立方程或不等式进行求解。一般步骤为：设，列，解。例1．曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，求P的坐标。（（1，0））。。。。。。A3、和A4、转化和化归思想生活中，为了认识某一个人，我们可以通过他的朋友或认识他的人来认识他。平时我们在研究问题时，也常常用转化的方法进行，如把陌生的问题转化为熟悉的问题，把A问题归结B问题来解决。在数学中，同样也有很多问题需要用转化和化归思想来解决。例1．如图所示，已知抛物线y2=2px(p0)。过动点M(a,0)，且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p。1．求a的取值范围；（-p/2a-p/4）2．若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。(22p)oxyBAQNM。。。。。。A5、数形结合思想以图形助分析，往往使一些较抽象的数量关系问题变得具体形象，容易解决。倒过来，一些几何变换转化为代数变换，可以省去空间想象的麻烦，这就是所谓的数形结合思想。例1．双曲线)0,0(12222babyax离心率为e，过右焦点F且斜率为k的直线与双曲线左右两支都相交，试比较221ke与大小。（e21+2k）oxyF。。。。。。A6、分类讨论思想物以类聚，人以群分，这是客观事实。数学也有许多问题需分类才能解决。如绝对值，开平方，指数函数，对数函数，含参数的方程、不等式、函数等。例1．解不等式011xmx（m0,xm1或x1;m=0,x1;0m1,1xm1;m=1,x;m1,xm1或x1）。。。。。。A7、补集思想在集合知识里，我们有A∪ACU=U，在概率知识里，我们有P（A）+P（)A=1。当直接求解某一量的值比较困难时，我们可以用这种补集思想。如在概率计算中，直接求某一事件的概率困难时，可转为求它的对立事件的概率。例1．抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功。1．求一次试验中成功的概率。（5/9）(理科做)2．求在4次实验中成功次数的概率分布列及的数学期望与方差。（E=20/9；D=80/81）。。。。。。A8、对称思想在数学里，有两种重要变换，轴对称变换和中心变换，这就是对称思想的由来。例1．已知偶函数f(x)的图象与x轴有五个公共点，求方程式f(x)=0的所有实根之和。（0）。。。。。。A9、特殊与一般的辩证思想一般包含特殊，特殊孕育一般，这种辩证思想，在解选择题时用得最多。例1．一个等差数列的前n和为48，前2n和为60，求它的前3n和。（36）。。。。。。A10、整体思想由于一般包含特殊，整体包括个体，因此，在研究个体问题遇到困难时，可以转向研究整体，这就是整体思想。例1．在等差数列{}na中，已知743aa，求6s。(21)。。。。。。B、数学方法B1、换元法换元，是转化思想的具体体现。通过换元，高次向低次转化，多元向单元转化，陌生向熟悉转化。所以，这是一种很重要解题方法。例1．已知f(xxlg)12，求f(x)。(f(x)=lg2-lg(x-1)(x1))例2．设a为正常数，解关于x的不等式：)22(223xxxxa(a=1,x;a1,x(0,a2log21);0a1,x)0,log21(2a)。。。。。。B2、待定法其实，这是方程思想的具体体现。把未知的量先设出来，然后建立方程，通过解方程求出这些未知的量。这就是待定法。例1．设P(p,p3)是曲线C:y=x3的一点，过点P引曲线C的切线，将切线以P为中心逆时针方向旋转45。，得到直线l。1．求直线l的方程；（y-p)(3131223pxpp）2．若l与C相交于不同的3点时,求p的范围。((-))31,31。。。。。。B3、配方法利用公式(a2222)babab把形式为mx2+nx+p变为m(x+h)2+k的形式，这就是配方法。配方法应用广泛。例1．2()23,[3,3],()fxxaxxfx设求的最小值.例2．对于函数f(x),若存在x,0R使f(x00)x成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax)0(1)1(2abxb若对b)(,xfR恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围。（0a1）。。。。。。B4、消参法消参法的步骤是：设；列；消。在已知与未知中起着搭桥的作用。例1．设A(a,0)(a0)，B，C分别为x，y轴上的点，非0向量BP满足：ACBPBCBP,2，当B点在x轴上运动时，求点P的轨迹方程()0(4(2xaxyoxAyBPPCC。。。。。。B5、和B6、综合法和分析法执因索果，执果索因，已知可知，未知需知，这就是综合法和分析法。例1．已知等比数列{a}n的首项a1=2，公比为21，前n项和为sn，证明：12222log)log(log21nnnsss。。。。。。B7、演绎法这是从一般到特殊的证明数学命题的证明方法。具体步骤就是所谓的三段论式：大前提，小前提，结论。例1．已知数列{an}中，a1=53，an=2-11na(n),2Nn，数列{bn}满足bn=11na求证数列{bn}是等比数列。。。。。。B8、归纳法有不完全归纳法和完全归纳法（数学归纳法）两种。例1．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的两倍）第一行1第二行23第三行4567。。。。。。。则第九行中的第4个数是____________例2．设nA=2221nn，Bn=nn2(nN)，试比较nA与Bn大小。。。。。。B9、构造法根据条件，构造具体的对象进行求解。例1．若非空集合P与Q的关系为PQ,则下列结论中正确的是(A)PQ=P(B)PQ=(C)QP(D)PQ=Q。。。。。。B10、试验法按题设条件，赋值试验。例1．若011ba有下列不等式：bababaababbaba2)4,2)3,)2,)12,其中正确的不等式有()个。（3个）。。。。。。B11、反证法正难则反。因为原命题与逆否命题等价，所以证明原命题可以改证它的逆否命题。例1．设f(x)=baxx2，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中，至少有一个不小于21。。。。。。。B12、割补法在解几何问题时有时要把一个复杂的图形分割成几个简单的图形，或反之，把一个图形补整为一个规则的图形，转化为一个容易解决的问题。例1．四面体ABCD各顶点到其所对平面之距离分别是1H、2H、3H、4H、四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1、h1、h3、h4求证：11Hh+22Hh+23Hh+44Hh=1。。。。。。B13、极限法极限，是研究变量的变化趋势。如，切线就是割线的极限位置。例1．设xn=1)1(1bbbn，其中b1，nN，求函数f(x)=n+bn(x-xn)，（x0）的定义域（x1,0bb）。。。。。。B14、特殊法在解选择题时，利用特殊值代入检验，或将问题特殊化，构造满足条件的特殊函数或图形特殊位置进行解题，这就是特殊法。例1．若0|x|4，则（）（B）A.sin2xsinxB.cos2xcosxC.tan2xtanxD.cot2xcotx例2．定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b0,给出下列不等式（1）f(a)f(-a)0(2)f(b)f(-b)0(3)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)其中正确的不等式序号是((1),(3))。。。。。。B15、解析法通过直角坐标系这座桥梁，使数与形得以结合。用代数的方法研究几何问题，这就是解析法。例1．如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角取何值时CQBP的值最大?并求出这个最大值.(0;0)aABC。。。。。。B16、向量法利用向量解几何题，关键是将有关线段设为向量。当然设出有关向量的坐标，用坐标运算，这样解题过程更加程序化，使解法变容易。例1．正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，求DOE的余弦值。（54）。。。。。。C、数学能力C1、运算能力对运算的要求是：准；快；合理。例1．已知函数f(x)=.,1Raxaax(1)证明：函数y=f(x)的图象关于点(a,-1)成中心对称图形;(2)当x]2,1[aa时，证明：f(x)]23,2[。。。。。。C2、逻辑推理能力推理要合符逻辑，要严密。例1．设函数f(x)=x,01)1(),1(22fbccbx，且方程f(x)+1=0有实根。证明：-3c1且b0。。。。。。C3、空间想象能力一维，二维，三维，。。。。。。，Ｎ维空间，这需要人们去想象。解立体几何题，空间想象能力不可少。例1．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积。(14)。。。。。。C4、分析、综合、运用知识能力综合，这是高考题一大特点。已知→可知，未知→需知，两头凑，事半功倍．例1．已知函数f(x)=.,3Rxxx(1)指出f(x)在定义域R上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）;(2)若a、b、cR，且a+b0，b+c0，c+a0,试证明：f(a)+f(b)+f(c)0。。。。。。C5、观察、猜测、归纳能力敏锐的洞察能力，是人的一种高级能力。特殊到一般，具体到抽象，这也是人们认识自然的一种方法。先归纳猜测，后严格证明，在科学研究中也常常使用。例1．已知数列{an}的各项均为正整数，且满足21522,(),11nnnaananNa(1)求a1、a2、a3、4a的值;（3，5，7，9）(2)求数列{an}的通项公式。（12nan）。。。。。。C6、阅读、理解、应用能力给出一个新定义（或定理），课本没出现过，让你运用它去解决一个实际问题。例1．定义两种运算：a⊕b=,22baa*b=2)(ba,则函数f(x)=(2⊕x)/((x*2)-2)是（）A．奇函数B。偶函数C。奇函数或偶函数D。既非奇函数又非偶函数此（A）。。。。。。C7、类比、推广、知识迁移能力平面图形类比空间图形，特殊推广到一般，此知识迁移到情景相同的彼地方。例1．在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的31”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的。(1/4)。。。。。。C8、探究、发现、独立思考和创新能力由条件探索可能成立的结论或由结论去探索应具备的充分条件，发现和捕获有助解题的信息（包括明的和暗的），排除干扰，独立思考，创造性解决问题。例1．已知函数f(x)在定义域(-)1,上是减函数，问是否存在实数k，使得不等式f(k-sinx)f(k)sin22x对一切实数x恒成立？(存在。k=-1)。。。。。。