高考求数列通项公式题的常用方法11

高考求数列通项公式题的常用方法梁关化，2015，4，16一．公式法。如果已知数列为等差或等比数列，则用等差或等比数列通项公式求解。例1有两个各项都是正数的数列na，nb。如果1a=1,1b=2,2a=3.且1,,nnnaba成等差数列,11,,nnnbab成等比数列,试求这两个数列的通项公式.（解略）二．已知ns，求na。用111,1,2nnnasnassn求解例2已知数列na的前n项和ns=13n(n＋1)(n＋2),试求数列1na的前n项和.（解略）三．已知(,)0(,)0nnnfasfasn+1或，求na。可先求ns，na的递推式，再用递推式求通项例3已知数列{}na的各项均为正数，且前n项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,,aaa成等比数列，求数列{}na的通项公式。解：∵对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa⑴∴当n=1时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a或12a当n≥2时，1111(1)(2)6nnnSaa⑵⑴-⑵整理得：11()(3)0nnnnaaaa∵{}na各项均为正数，∴13nnaa当11a时，32nan，此时2429aaa成立当12a时，31nan，此时2429aaa不成立，故12a舍去所以32nan练习。已知数列}{na中,0na且2)1(21nnaS,求数列}{na的通项公式.（12nan）四．递推式求通项四（1）累加法。适用于递推式为1()nnaafn（其中()fn为容易求和的数列通项）例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。练习1.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.（na=12nn）练习2.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.（nan12）四（二）、累乘法。适用于递推式为1()nnafna例2设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________.解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann2n时，nnaann1112211231123111122nnnnnnnaaaannnaaaaaannnn四（三）、构造法。适用于递推式为1nnapaq构造数列na，使1()nnapa,()1qp因此数列na构成以1a为首项，以p为公比的等比数列，所以11()11nnqqaappp即：11()11nnqqaappp.例3已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna练习．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na。四（四）。同除法。递推式形如：nnnqapa1①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可.②若1p时，即：nnnqapa1，两边同除以1nq.，变为qqaqpqannnn111转化为构造法。例4已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略练习.（2003天津理）设0a为常数，且)(2311Nnaannn．证明对任意n≥1，012)1(]2)1(3[51aannnnnn；四（五）、倒数变换法。适用于递推式形如1nnnpaaqar例5已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。解：求倒数得11111111111,,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan四（六）、数学归纳法。通过首项和递推关系式求出数列的前几项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例6已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，下面用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(211)18(211)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，12222222222222228(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]kkkaakkkkkkkkkkkkkkkk由此可知，当1nk时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。