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菜单新课标·理科数学（广东专用）等差、等比数列是重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的．解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程(组)；②巧妙运用等差、等比数列的性质．菜单新课标·理科数学（广东专用）设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求{an＋bn}的前n项和．【思路点拨】(1)先求{an}的公比q，再求an；(2)运用等比(差)数列的求和公式代入计算．菜单新课标·理科数学（广东专用）【反思启迪】本小题主要考查等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，解题的突破口是运用方程思想求公比q.【规范解答】(1)设{an}的公比为q，且q＞0，由a1＝2，a3＝a2＋4，∴2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，又q＞0，解之得q＝2.所以{an}的通项公式an＝2·2n－1＝2n.(2)Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝2（1－2n）1－2＋n×1＋n（n－1）2×2＝2n＋1＋n2－2.菜单新课标·理科数学（广东专用）已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.【解】(1)∵数列{an}是等差数列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36，则a2＋a5＝12，由于a2＝3，所以a5＝9，从而d＝2，a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.菜单新课标·理科数学（广东专用）(2)设{bn}的公比为q，∵b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，∴b4＋b5b1＋b2＝q3＝8，则q＝2.从而b1＋b2＝b1(1＋q)＝3b1＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，则2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，菜单新课标·理科数学（广东专用）两式相减，得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，∴－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3.∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.菜单新课标·理科数学（广东专用）数列与函数、不等式的综合问题是近年高考的热点，常涉及数列的通项与前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力以及转化化归的思想和数学素养．菜单新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)由已知得an＋1与an的关系从而获解；(2)利用等差数列的性质及裂项相消去求解第(2)、(3)问．已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(1an)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；(3)令bn＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn＜m－20052对一切n∈N*成立，求最小正整数m.菜单新课标·理科数学（广东专用）【规范解答】(1)∵an＋1＝f(1an)＝2＋3an3＝an＋23，∴{an}是以23为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝23n＋13.(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n（53＋4n3＋13）2＝－49(2n2＋3n)．菜单新课标·理科数学（广东专用）(3)当n≥2时，bn＝1an－1an＝1（23n－13）（23n＋13）＝92(12n－1－12n＋1)，又b1＝3＝92(1－13)，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝92(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝92(1－12n＋1)＝9n2n＋1，∵Sn＝9n2n＋1＜m－20052对一切n∈N*成立．菜单新课标·理科数学（广东专用）9n2n＋1＝92(1－12n＋1)递增，且9n2n＋1＜92.∴m－20052≥92，即m≥2014.∴最小正整数m＝2014.菜单新课标·理科数学（广东专用）【反思启迪】1.本题中在求最小正整数m的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列的单调性．2．数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选．菜单新课标·理科数学（广东专用）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an.(1)证明：数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，设Tn是数列{bnan＋2}的前n项和，求证：Tn＜32.【证明】(1)由Sn＋2n＝2an，得Sn＝2an－2n，①当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2，当n≥2，n∈N*时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)．②①－②，得an＝2an－2an－1－2，即an＝2an－1＋2，∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴an＋2an－1＋2＝2.菜单新课标·理科数学（广东专用）∴{an＋2}是以a1＋2为首项，以2为公比的等比数列．∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2.(2)由bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，得bnan＋2＝n＋12n＋1，则Tn＝222＋323＋…＋n＋12n＋1，③12Tn＝223＋…＋n2n＋1＋n＋12n＋2.④菜单新课标·理科数学（广东专用）③－④，得12Tn＝222＋123＋124＋…＋12n＋1－n＋12n＋2＝14＋14（1－12n）1－12－n＋12n＋2＝14＋12－12n＋1－n＋12n＋2＝34－n＋32n＋2，所以Tn＝32－n＋32n＋1＜32.菜单新课标·理科数学（广东专用）一般地，平面图形中的点列问题都可化为由其横(纵)坐标构成的数列问题来解决．通过递推关系，研究点列坐标的有关性质，这是数列与解析几何的有机结合，是高考热点之一．(2013·广州调研)已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1an，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的关系式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式．并加以证明；若不存在，试说明理由．菜单新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)由条件，寻找an与an＋1的关系，转化为特殊数列，求an；(2)利用函数与方程思想，探求g(n)．【规范解答】(1)∵点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上，∴an＋1＝an＋1，且a1＝1，则数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)．菜单新课标·理科数学（广东专用）(2)由bn＝1n，可得Sn＝1＋12＋13＋…＋1n，∴Sn－Sn－1＝1n(n≥2，n∈N*)，则nSn－(n－1)Sn－1＝1＋Sn－1，∴(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝1＋Sn－2，……2S2－S1＝1＋S1，将以上n－1个等式等号两端分别相加得nSn－S1＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＋(n－1)(n≥2)，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝nSn－n＝n(Sn－1)，n≥2.令g(n)＝n，所以，存在关于n的关系式g(n)＝n，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立．菜单新课标·理科数学（广东专用）2．解决此类问题首先要从试题中抽取数据，并建立起数列模型(一般是等差、等比等方便处理的数列模型)，进而套用数列通项和求和公式处理问题，最后要结合实际情况给出说明．【反思启迪】1.点列问题常与函数图象、几何曲线、向量交汇，求解的关键是理解掌握其中的知识联系与相互之间的转化，本题突破的难点是Sn－Sn－1＝1n向nSn－(n－1)Sn－1＝1＋Sn－1的变形，为迭加创造条件．菜单新课标·理科数学（广东专用）在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；(3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1＜cn.【解】(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.菜单新课标·理科数学（广东专用）(2)证明∵点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，∴Tn＝－12bn＋1，①∴Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)，②①－②得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)，∴32bn＝12bn－1，∴bn＝13bn－1.令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23，菜单新课标·理科数学（广东专用）∴{bn}是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)证明由(2)可知bn＝23·(13)n－1＝23n.∴cn＝an·bn＝(n＋1)·23n，∴cn＋1－cn＝(n＋2)·23n＋1－(n＋1)·23n＝23n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]＝23n＋1(－2n－1)＜0，∴cn＋1＜cn.