第1-6届启智杯真题+答案

12015深圳市第6届“启智杯”数学思维竞赛题（A1中年级组）1．在下式括号中填上合适的数，使得等式满足下列三个条件：（1）等式成立；（2）各分数值小于1；（3）所有分数的分母不相等．()2()4()330()12()10()2．下列图形从左往右的排列中，直角个数变化是有规律的，请你写出这个变化规律，并在问号处填上选择符合的图形对应的字母．3．下面左右两幅方格图中，每个方格中都有49个交点．（1）观察左图，发现点C到A、B的距离相，那么这副图中剩下的46个交点中，到A、B距离相等的公共交点还有哪些？请在图中描出．（2）在右图中A、B两点确定了一个距离，试在图中剩下的48个交点中描出所有可能的点，使得这些点到B点的距离等于A、B两点的距离．4．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数分别填在如图所示的各个圆圈中，使每条线段上的三个圆圈内的数之和相等，把满足条件的可能填发全部列出．25．期末考试，在语数英三门课程中，聪聪有一门得了满分，她的同学甲、乙、丙在猜测到底哪一门得了满分．甲认为不是语文，乙认为是数学或英语，丙认为是英语．实际上，这三个同学的看法至少有一种是正确的，也至少有一种是错误的．请问，聪聪到底是哪门课考了满分？说明你的答案与推理过程．6．已知111124578201420151236723692016ab，．求ab的值，写出计算过程．7．下图左边是一个44的正方形去掉六个11的小正方形后剩下的“十字”形图形，右边的六个图形也是有11的小正方形拼成的图形，这些图形中，选择两块可以在平面上移动（可转动，但不翻动）拼成左边“十字”形图形，请把所有可能选出两块的拼法画在“十字”形图形上，并标出拼图组件所对应的字母．38．一个数各个位置上的数字加起来的和叫做数字和，如123的数字和是1+2+3=6．如果一个数的数字和不是一位数，就将其数字和再求数字和．如：456，4+5+8=17，1+7=8，如果最后得到的结果是1，则称这个数为“孤独数”．请问从1到2015的自然数中“孤独数”有多少个？写出结果及推理的过程．9．甲、乙、丙三人在A、B两块相邻的地植树，A地要植400棵，B地要植600棵．已知甲、乙、丙每天分别能植树30，34，38棵．甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树．三个人在两块地上的植树活动要求同一天开始同一天结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？A、B两地哪一块最先结束植树活动？写出答案及分析过程．10．右边乘法算式中，只有四个位置上的数已知，它们分别是2，0，1，5，请你在空白位置填上数字，使得算式能够成立，写出所有可能成立的算式．411．如下图，在正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D上按照顺时针方向依次进行如下标注：首先在顶点A、B上分别标注数1、2，之后将AB两点的标注数之和（1+2=3）标注在下一个顶点C处，再将BC两点的标注数之和（2+3=5）标注在下一个顶点D处．接下来再把A点的标注数1擦去，将CD两点的标注数之和（3+5=8）标注在A点，如此下去，请问：对A点进行第2015次标注的数被3除的余数是多少？说明你的依据．12．某电脑动态屏保是这样设计的：开始共有2015只小鸟，随机编成若干列，每列数量不限．从第一列开始，每两列一组依次连续从屏幕左侧进入屏幕，移动至右侧从屏幕消失．如果消失的两列数量不同，就从后面增补一列小鸟（2015只小鸟以外），其数量为前面消失两列的数量之差（多的减少）；如果消失的两列数量相同，则直接消失不予增补．如此下去，小鸟数量和列数都会越来越少，如果最后完全消失，则屏保结束；如果最后剩下1列，则电脑再随机增补100只新的小鸟，依然随机编排，并依前述规则进入和退出屏幕．问：如此下去，这个屏保会否在某个时刻结束？说明你的理由．52015深圳市第6届“启智杯”数学思维竞赛题（A2高年级组）1．规定：符号“▼”为选择两个数中较大的数的运算，符号“▲”为选择两个数中较小的数的运算．比如5▼3=5，7▼10=10，3▲7=3．计算：13.141320154214201570.33?31.234▲▼▼▲▼▲2．一列数，其前七项依次为1，1，3，4，5，9，7，第8项是什么？说明理由．3．如图所示，圆周上的两个点1A、2A将圆等分成2份，在这两个点处写上14；圆周上的两个点3A、4A再将两段半圆弧等分，在点3A、4A处分别写上相邻2个数之和；如此继续这样操作，问能否出现圆周上所有数字之和2015？若可能，请求出经过了多少次操作？若不能，请说明理由．4．右图是四朵对称的小黄花相互连接于一个边长为4的正方形内，如果四朵黄花所围出的中间白色区域的面积为1.2，问一朵黄花的平面面积是多少？说明理由．（注：黑白印刷下，每一朵黄花是指图中虚线所包围的部分，包括其中的小圆内）65．如图，在正五边形ABCDE的五个顶点A、B、C、D、E上按顺时针方向依次进行如下标注：首先在顶点A、B上分别标注1、2，之后将A、B两点的标注数之和123标注在下一个顶点C处，再将B、C两点的标注数这和235标注在下一个顶点D处．再将C、D两点的标注数之和358标注在下一个顶点E处．接下来再把A点的标注数1擦去．将D、E两点的标注数之和5813标注在A点，如此下去，请问：对A点进行第2015次标注的数被5除的余数是多少？说明你的依据．6．某边远山区发生一起谋杀案，警方抓捕了三个嫌疑人A、B、C．法官问A是否杀了人，但A呜哩哇讲了一通方言，法官听不懂，就问另两位能讲普通话的嫌疑人B和C，他们懂这种方言．B说：“A告诉你，他没有杀人”．C说：“不对，A承认是他杀了人”．法官相信，在询问过程中，非罪犯是不会撒谎的，撒谎的一定是罪犯．请问：到底谁是罪犯？请说明理由．7．在一个孤岛上生活着三种怪物：奇虎、奇狮、奇豹，数量分别为2010、2015、2020个．这些怪物有一种古怪的习性：它们任何两种怪物一旦见面，就双方都变成第三种怪物（比如，一个奇虎和一个奇狮见面，就都变成奇豹），见一种怪物见面则不会产生变化．问，如此下去，它们是否有可能到某种时刻全部变成同一种怪物？请说明理由．78．在平面上用长度为5cm的火柴棒摆正方形，摆出1个边长为5cm的正方形需要4根火柴，摆出2015个这样的正方形最少需要多少根火柴？说明你的摆法（不必画图）．9．有一个魔术是这样表演的：表演者将一副扑克牌去掉大小鬼共52张放入一暗箱，另有足够多的备用扑克牌．请一位观众上台，让他们从暗箱中随意取出若干张牌，算出这些牌的点数之和的个位数（规定J、Q、K的点数分别为11、12、13），然后从备用牌中拿来一张点数为这个个位数的扑克牌放进暗箱（如果个位数是0则不放），这个过程称为一次“置换”．如此下去，经过多次置换，暗箱里的扑克牌数量会越来越少，直至剩下一张．此时，魔术师非常自信地报出最后剩下的这张牌的点数，请问你能确定它的点数是几吗？为什么？10．如图所示，是一块上、下两面边长为28厘米的正方形蛋糕，其上表面和四周表面分别均匀覆盖着两种不同的糖霜，其厚度相同．如果用刀将其平均切分成7块体积相等，且覆盖有等量两种糖霜的小蛋糕，那么该怎样切？请在给出的平面图（下图右）上画出你的切割示意图，并做简要说明分割的理由．811．在棋盘上滚动骰子，使骰子的一面和棋盘格的大小相等，然后将骰子以棱为轴，滚动到邻近的棋盘格，每滚动一次，骰子朝上一面的数字就会变化．如果骰子的初始位置如左图，当骰子滚动六次到达对角顶点时（如右图），那么，第一步、第四步、第六步朝上的面分别是几点？（说明：骰子的相对两个面的点数之和为7）12．钢筋原材料每根长10米，每套钢筋架子用长2.4米、2米和1.5米的钢筋各一段．现需要绑好钢筋架子20套，至少要用去原材料多少根？总共浪费多少米？请填写下表以确定你的切割方案．原料序号钢筋段数1234567891011121314总1.5米2米2.4米92014深圳市第5届“启智杯”数学思维竞赛题（A组）1．观察如下几个等式：（1）331；（2）57313；（3）79113135；……你发现了什么规律？请据此写出第100个式子.2．有一个2014位数，其从左到右第2、3位数字分别为2、3，第11、30、2014位数字分别为4、5、6.如果其任何相邻的五位数字之和全相等，请问该数的第一位数字是几？全部2014位数字之和是多少？写出结果，并写出分析过程.3．一个非零自然数，如果从左到右顺读和从右到左逆读，都是一样的，则这个数称为“对称数”，如4，55，171，4994，12321等都是对称数，而332不是对称数.那么全部非零自然数（从1开始）从小到大的第2014这个对称数是多少？写出结果，并写出分析过程.4．把一张纸片裁剪成8份，称第1次操作；取其中一张再把它裁剪成8份，称第2次操作；如此继续下去，……，能否经过若干次操作后正好剪出了2014张纸片？若不能，请说明理由；若能，则需要经过多少次操作？写出结果，并写出分析过程.105．有如下三组数：A组：13，16，110，115；B组：1，3，5，7，9；C组：0.7，1.4，2.1，2.8，3.5，4.2，4.9.从每一组中各取一个数，相乘得到一个乘积，求这140个乘积的总和是多少？写出过程和结果.6．如图所示，五个圆中有部分的圆彼此相切（两个圆有且只有唯一一个公共点称两个圆相切），且总共只有三种不同长度的直径.若图中阴影部分的面积和为72cm，求最大圆内空白处的总面积.7．如图所示，正方形ABCD和正方形BEFG边长分别为a和b，25ab，若ACF△的面积是26cm，求CEF△的面积.8．通过折线的手段将一个正方形的每边两等分（对折）、四等分（再对折）、八等分（再对折）等等，都是轻而易举的（如图，虚线为折痕）.请问，你能否在正方形的每边四等分、八等分的基础上，通过折线将其每边三等分、七等分？能否五等分呢？若能，请在图中用虚线画出你的折痕（用字母标出折痕经过的点）；若不能，请说明理由.119．请将1，2，3，4，…11，12共12个数填入下列“井”字图形的12个○内，要求：（1）每个数都用一次；（2）每个“口”字四个解上（如ABCD四个位置）四个数之和都相等，四条直线上（如ACFG四个位置）四个数之和也相等，且等于各个“口”字四个角上四个数之和.10．明明的QQ号是由五个不同的数字组成的五位数，他把号码口头告诉了A、B、C三位同学.可惜他们都没有记住.A记的是“23865”，B记的是“32856”，C记的是“56328”.如果ABC三人每个人记的五位数中，位置和数字均正确的都只有两位，而且位置不相邻，请问明明的QQ号是多少？写出结果，并写出分析过程.11．张老师、王老师、李老师三人的年龄为三个连续的自然数，其中张老师28岁，他们三人分别教数学、语文和英语.已经知道：（1）李老师比英语教师年龄大；（2）张老师和语文教师不同岁；（3）语文教师比王老师年龄小.请判断一下，数学、语文、英语教师分别是谁？他们的年龄各为多大？写出结果，并写出分析过程.12．某疗养院有100个床位，床号为1、2、3、…、100，依次分布在三种不同类型的病房内：单人房、双人房、三人房（每种类型至少有1间，前几间是单人房，接下来几间是双人房，最后几间为三人房）.（1）最少有多少间房？（2）最多有多少间房？（3）如果其中有13个单人房，并且52、53号床在同一个房间，58、59号床不在同一个房间，问这里共有多少个房间？写出结果，并写出分析过程.122013深圳市第4届“启智杯”数学思维竞赛题（A组）1．在下面的算式中，不同的汉字代表1—9中不同的数字，那么，“为了一切学生”的各字分别代表了什么数字？写出一种答案，说明你的分析过程．987654为了一切学生一切为了学生为了学生一切2．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字中选出8个不同的数字分别填入下面两个算式的方框内（每个数字只许用一次），使它们都成立，简述理由．3．在如图所示的33的方格中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等．则每一行各数之和是