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2015深圳市第6届“启智杯”数学思维竞赛题（A2高年级组）1．规定：符号“▼”为选择两个数中较大的数的运算，符号“▲”为选择两个数中较小的数的运算．比如5▼3=5，7▼10=10，3▲7=3．计算：13.141320154214201570.33?31.234▲▼▼▲▼▲2．一列数，其前七项依次为1，1，3，4，5，9，7，第8项是什么？说明理由．3．如图所示，圆周上的两个点1A、2A将圆等分成2份，在这两个点处写上14；圆周上的两个点3A、4A再将两段半圆弧等分，在点3A、4A处分别写上相邻2个数之和；如此继续这样操作，问能否出现圆周上所有数字之和2015？若可能，请求出经过了多少次操作？若不能，请说明理由．4．右图是四朵对称的小黄花相互连接于一个边长为4的正方形内，如果四朵黄花所围出的中间白色区域的面积为1.2，问一朵黄花的平面面积是多少？说明理由．（注：黑白印刷下，每一朵黄花是指图中虚线所包围的部分，包括其中的小圆内）5．如图，在正五边形ABCDE的五个顶点、B、C、D、E上按顺时针方向依次进行如下标注：首先在顶点、B上分别标注1、2，之后将、B两点的标注数之和123标注在下一个顶点C处，再将B、C两点的标注数这和235标注在下一个顶点D处．再将C、D两点的标注数之和358标注在下一个顶点E处．接下来再把点的标注数1擦去．将D、E两点的标注数之和5813标注在点，如此下去，请问：对点进行第2015次标注的数被5除的余数是多少？说明你的依据．6．某边远山区发生一起谋杀案，警方抓捕了三个嫌疑人、B、C．法官问是否杀了人，但呜哩哇讲了一通方言，法官听不懂，就问另两位能讲普通话的嫌疑人B和C，他们懂这种方言．B说：“告诉你，他没有杀人”．C说：“不对，承认是他杀了人”．法官相信，在询问过程中，非罪犯是不会撒谎的，撒谎的一定是罪犯．请问：到底谁是罪犯？请说明理由．7．在一个孤岛上生活着三种怪物：奇虎、奇狮、奇豹，数量分别为2010、2015、2020个．这些怪物有一种古怪的习性：它们任何两种怪物一旦见面，就双方都变成第三种怪物（比如，一个奇虎和一个奇狮见面，就都变成奇豹），见一种怪物见面则不会产生变化．问，如此下去，它们是否有可能到某种时刻全部变成同一种怪物？请说明理由．8．在平面上用长度为5cm的火柴棒摆正方形，摆出1个边长为5cm的正方形需要4根火柴，摆出2015个这样的正方形最少需要多少根火柴？说明你的摆法（不必画图）．9．有一个魔术是这样表演的：表演者将一副扑克牌去掉大小鬼共52张放入一暗箱，另有足够多的备用扑克牌．请一位观众上台，让他们从暗箱中随意取出若干张牌，算出这些牌的点数之和的个位数（规定J、Q、K的点数分别为11、12、13），然后从备用牌中拿来一张点数为这个个位数的扑克牌放进暗箱（如果个位数是0则不放），这个过程称为一次“置换”．如此下去，经过多次置换，暗箱里的扑克牌数量会越来越少，直至剩下一张．此时，魔术师非常自信地报出最后剩下的这张牌的点数，请问你能确定它的点数是几吗？为什么？10．如图所示，是一块上、下两面边长为28厘米的正方形蛋糕，其上表面和四周表面分别均匀覆盖着两种不同的糖霜，其厚度相同．如果用刀将其平均切分成7块体积相等，且覆盖有等量两种糖霜的小蛋糕，那么该怎样切？请在给出的平面图（下图右）上画出你的切割示意图，并做简要说明分割的理由．11．在棋盘上滚动骰子，使骰子的一面和棋盘格的大小相等，然后将骰子以棱为轴，滚动到邻近的棋盘格，每滚动一次，骰子朝上一面的数字就会变化．如果骰子的初始位置如左图，当骰子滚动六次到达对角顶点时（如右图），那么，第一步、第四步、第六步朝上的面分别是几点？（说明：骰子的相对两个面的点数之和为7）12．钢筋原材料每根长10米，每套钢筋架子用长2.4米、2米和1.5米的钢筋各一段．现需要绑好钢筋架子20套，至少要用去原材料多少根？总共浪费多少米？请填写下表以确定你的切割方案．原料序号钢筋段数1234567891011121314总1.5米2米2.4米2015深圳市第6届“启智杯”数学思维竞赛题答案（A2高年级组）1．【答案】48【分析】原式=1134215734▼▲=74712=482．【答案】16【分析】3．【答案】不能【分析】不能，求和：111(1)442(2)增加的数为原来的两倍，一共和为原来3倍：1332239(3)322…n132n4．【答案】2.8【分析】中间白色区域面积为1.2，则虚线内的白色也为1.2．则：221.241.22.85．【答案】4【分析】（1）对于点的每次操作，对应的是第1，6，11，16，21，…个数，则第次的操作应为54n个数．52015410071（2）数列：1，2，3，5，8，13，21，……5余：[1，2，3，0，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1]1，2100712011，第11个余数为“4”．6．【答案】C【分析】B、C互相矛盾，必有一个说谎；则为真话，不是凶手．（1）若B说谎，则与分析矛盾；（2）若C说谎，则C为罪犯，符合．7．【答案】不可能【分析】不可能．对于每次这样的操作，例如：任意相邻的两个数，要么差不变．要么差+3，则任意两数之差除以3的余数，不会变．201520103220202015322020201031.，，而若所有都成同一动物，则其中必有两个0，除以3余0，与分析矛盾，因此不能．8．【答案】4120根【分析】先找规律：4个正方形应该是22的摆，比摆成14的要节省．则构造正方形：2452025，最接近2015．对于4545的正方形，共用火柴：454624140（根）．此时我们还要再去掉10个正方形，每拿掉2根火柴就少一个正方形：414042104120（根）．9．【答案】4【分析】123134914364由于每次的操作都是去掉若干个10．364104．所以最后剩下“4”．10．【答案】11．【答案】12．【答案】12根，2米【分析】理论上：1.522.4201011.8（根），至少12根．构造：序号：1234567891011121.5m：2222222222002m：11111111111552.4m：2222222222200至少要用12根，浪费原料：101.5222.42102mnaa