2019高考数学(理科)大题训练(五)

2019高考数学（理科）大题训练（五）解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)已知数列{an}是公差为正数的等差数列，a3＋a5＝18且a1，a3－1，a5＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝8anan＋1，设数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得Sn＜k对任意的n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{an}的公差为d(d＞0)，由a3＋a5＝18，得2a4＝18，所以a4＝9.由a1，a3－1，a5＋1成等比数列，得(a3－1)2＝a1(a5＋1)，得(9－d－1)2＝(9－3d)(9＋d＋1)，解得d＝2或d＝－134(舍去)．所以数列{an}的通项公式为an＝a4＋(n－4)·d＝9＋(n－4)·2＝2n＋1.(2)由(1)知，bn＝8anan＋1＝8（2n＋1）（2n＋3）＝412n＋1－12n＋3，所以Sn＝413－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝413－12n＋3＜43.故存在正整数k，且正整数k的最小值为2，使得Sn＜k对任意的n∈N*恒成立．2．(本题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，AB＝2AD，E是AB上一点，且三棱锥P­BCE与四棱锥P­ADCE的体积之比为1∶2，CE与DA的延长线交于点F，连接PF.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求二面角A­PE­F的余弦值．解：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)分别以AF，AB，AP所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得△PAD是等腰直角三角形且PA＝AD，不妨设PA＝AD＝3，因为三棱锥P­BCE与四棱锥P­ADCE的体积之比为1∶2，所以13·12BE·BC·PA13·AE＋CD2·AD·PA＝12，得BEAE＋CD＝12，得BEAE＋AE＋BE＝12，得BE＝2AE，则BE＝4，AE＝2.由平行线分线段成比例定理的推论，得AFFD＝AEDC＝13，所以AFAD＝12，所以AF＝12AD＝32.所以A(0，0，0)，P(0，0，3)，E(0，2，0)，F32，0，0，则PE→＝(0，2，－3)，PF→＝32，0，－3.设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PE→＝0，n·PF→＝0，即2y－3z＝0，32x－3z＝0，得y＝32z，x＝2z，令z＝1，得平面PEF的一个法向量为n＝2，32，1，易知平面PEA的一个法向量为m＝AF→＝32，0，0.则cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝2×32292×32＝42929.易知二面角A­PE­F为锐角，所以二面角A­PE­F的余弦值为42929.3．(本题满分12分)某省召开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各随机抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表如下：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45]频数4369628324(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后总计合格品不合格品总计(2)根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.解：(1)根据题图和表得到2×2列联表：设备改造前设备改造后总计合格品172192364不合格品28836总计200200400将2×2列联表中的数据代入公式计算得K2＝400×（172×8－28×192）2200×200×364×36≈12.210，∵12.2106.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．(2)根据题图和表可知，设备改造前产品的合格率约为172200＝4350，设备改造后产品的合格率约为192200＝2425，显然设备改造后产品的合格率更高，因此，设备改造后性能更优．(3)由题表知，一等品的频率为96192＝12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为36＋28192＝13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13；三等品的频率为32192＝16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16.由已知得，随机变量X的所有可能取值为240，300，360，420，480.P(X＝240)＝16×16＝136，P(X＝300)＝C12×13×16＝19，P(X＝360)＝C12×12×16＋13×13＝518，P(X＝420)＝C12×12×13＝13，P(X＝480)＝12×12＝14.∴随机变量X的分布列为X240300360420480P136195181314∴E(X)＝240×136＋300×19＋360×518＋420×13＋480×14＝400.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)，直线l：x＝tcosα，y＝tsinαt为参数，α∈0，π2与曲线C相交于点A，B，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l和曲线C的极坐标方程；(2)求1|OA|＋1|OB|的最大值．解：(1)直线l的极坐标方程为θ＝αα∈0，π2，ρ∈R，由题意知曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－ρ(2cosθ＋4sinθ)＋1＝0.(2)将θ＝α代入ρ2－ρ(2cosθ＋4sinθ)＋1＝0，得ρ2－(2cosα＋4sinα)ρ＋1＝0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2cosα＋4sinα，ρ1ρ2＝1，又α∈0，π2，所以ρ1，ρ2＞0，且1|OA|＋1|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝2cosα＋4sinα＝25cos(α－φ)≤25()tanφ＝2，故1|OA|＋1|OB|的最大值为25.5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|.(1)解不等式f(x)≥8；(2)若不等式f(x)＜a2－3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|＝－2x，x≤－2，4，－2＜x＜2，2x，x≥2.当x≤－2时，由－2x≥8，解得x≤－4；当－2＜x＜2时，4≥8不成立；当x≥2时，由2x≥8，解得x≥4.∴不等式f(x)≥8的解集为{x|x≤－4或x≥4}．(2)∵f(x)＝|x－2|＋|x＋2|≥|(x－2)－(x＋2)|＝4，当且仅当(x－2)(x＋2)≤0时等号成立．∴f(x)min＝4.又不等式f(x)＜a2－3a的解集不是空集，∴a2－3a＞f(x)min＝4，解得a＞4或a＜－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．