高考立体几何浅析正版

高考立体几何浅析摘要：近几年的高考，立体几何的题目可以用常规方法来求救，同时可以用向量法来求解，本文就高考立体几何的解法做一探讨。关键词：高考，立体几何，建系，垂直，平行，坐标系。为了体现高考能力立意的意图，强化创新是必然的趋势，纵观近几年的高考立体几何试题，发现以选择题，填空题，解答题形式出现的在这方面表现的突出，在高考中这部分内容得分了比较低，现将高考立体几何的多种创新情境试题加以展示与解读。1、立体几何考查分析：通过研究近几年的高考试卷的研究不难发现立体几何突出“空间”,“立体”，把线线关系、线面、面面位置关系的考查。2012理四川卷第6题主要考查了直线与平面的关系的考查，2012理四川卷第14题主要考查直线与平面垂直的关系，直线与平面平行的关系，2012新课标理科数学第19题主要考查直线与平面垂直的关系，及二面角的求法，2011年理科北京卷第16题主要考查了直线与平面垂直的关系，2012理科广东A卷、2012年理湖北卷、2011理北京卷、2011理湖南卷、2011理广东卷、2011理山东卷、2012文新课标卷、2012文北京卷等对三视图的考查。(1)从试卷的结构来看：通常以选择题、填空题、解答题多以中等题出现，涉及棱柱的概念和性质的题目常以选择题、填空题的形式出现。（2）从立体几何考查内容看:常考平面图形的折叠、剪拼、空间图形的表面展开、异面直线的概念、判定、两条异面直线所成的角等知识，，对平行和垂直关系的考查形式多样，小题多是考查线面平行和垂直关系的判定及性质；大题则考查线面平行和垂直关系的证明以及利用平行和垂直的关系进行计算，求点与点之间的距离或点到面的距离是高考的重点，有一点的综合创新性，近几年高考中立体几何的解答题多以棱柱为载体，考查棱柱的性质以及棱柱中线面关系的判断或论证，有关角和距离的计算。（3）从考查能力上看：考查空间想象能力，逻辑思维能力，运算求解能力。2、立体几何的例题分析（1）几何体的基本概念的考查(2012理四川卷第6题)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案：C试题评析：对于A答案主要考查直线与平面所成的角的范围【0，90°】还可能相交，此命题是错误的；对于B答案主要考查如果三个点在一条直线上，这两个平面也可垂直，此命题是错误的；对于C答案考查了直线与平面平行的性质定理，此命题是对的；对于答案D考查了平面与平面平行，平面与平面垂直的判定，这两个平面还可能垂直，此命题是错误的。综上所述本题答案是C。(2012理四川卷第14题)如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大小是____________。答案：90°试题评析：主要考查了三垂线定理，连接D1M,直线A1M在平面CDD1C1内的射影是直线D1M,且D1MDN,则A1MDN,则异面直线A1M与DN所成交为90°（2）知识的综合应用能力考查NMB1A1C1D1BDCA（2012新课标理科数学第19题）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC1（1）证明：BCDC1（2）求二面角11CBDA的大小。C1B1A1ACBDHO试题分析：本题是高考立体几何的综合题型，在高考中得分率是非常低的，一部分学生一看到这种题就无从着手，这种题难在考查知识间的内在联系，如直线与平面垂直的性质，棱柱的性质，平面与平面所成的角即二面角的求法，通常要把二面角转化成平面角，这需要用定义法来作。试题解析：(1）在RtDAC中，ADAC得：45ADC同理：1114590ADCCDC得：111,DCDCDCBDDC面1BCDDCBC（2）11,DCBCCCBCBC面11ACCABCAC取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,COCH1111111ACBCCOAB，面111ABC面1ABD1CO面1ABD1OHBDCHBD得：点H与点D重合且1CDO是二面角11CBDA的平面角设ACa，则122aCO，1112230CDaCOCDO则二面角11CBDA的大小为30（2011年理科北京卷第16题）（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD.(Ⅰ)求证：BD平面;PAC（Ⅱ）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.试题分析：本题考查直线与平面垂直的关系要证直线垂直平面就先要一条直线垂直平面的两条相交直线即可，同时以考查了空间向量的应用。试题解析：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2，所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0，—3，2），A（0，—3，0），B（1，0，0），C（0，3，0）.所以).0,32,0(),2,3,1(ACPB设PB与AC所成角为，则4632226||||cosACPBACPB.zyxOADBCP（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(BC设P（0，－3，t）（t0），则),3,1(tBP设平面PBC的法向量，m=（x，y，z），则BC•m=0，BP•m=0所以03,03tzyxyx令,3y则.6,3tzx所以m=(3,3,6t)同理，平面PDC的法向量n=（-3，3，6t）因为平面PCB⊥平面PDC,所以m•n=0即-6+36t=0解得6t，所以PA=6（3）、知识的逻辑推理能力的考查（2012理科北京卷第7题）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A.28+65B.30+65C.56+125D.60+125试题解析:选B,从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10底S，10后S，10右S，56左S，因此该几何体表面积5630左右后底SSSSS，故选B。（2012理北京卷第16题）（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.(I)求证：A1C⊥平面BCDE；(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由试题分析：此题难度一般，本题主要考查图形的折叠，直线与平面垂直的关系，直线与平面所成的角及平面与平面垂直的关系。试题解析：解：（1）CDDE，1AEDEDE平面1ACD，又1AC平面1ACD，1ACDE又1ACCD，1AC平面BCDE。（2）如图建系Cxyz，则200D，，，0023A，，，030B，，，220E，，∴10323AB，，,1210AE，，设平面1ABE法向量为nxyz，，则1100ABnAEn∴323020yzxy∴322zyyx∴123n，，又∵103M，，∴103CM，，zyxA1(0,0,23)D(-2,0,0)E(-2,2,0)B(0,3,0)C(0,0,0)M∴1342cos2||||14313222CMnCMn，∴CM与平面1ABE所成角的大小45。（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为00a，，，则03a，则1023APa，，，20DPa，，设平面1ADP法向量为1111nxyz，，，则111123020ayzxay∴11113612zayxay∴1363naa，，。假设平面1ADP与平面1ABE垂直，则10nn，∴31230aa，612a，2a，∵03a，∴不存在线段BC上存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直。本文是我对近几年高考立体几何试题考查的浅析，我认为要掌握好高考立体几何，首先应该理解并掌握每个知识的基本的定义，定理，性质。其次要建立空间想象能力，认真观察能力，要掌握数型结合的思想方法，并总结知识间的内在联系，由于本人水平有限，本文的探讨就到此为止，缺点错误在所难免，敬请读者批评指正.本人在写作过程中参考了下述文献，特向各位作者表示衷心的感谢！参考文献：[1]天利38套.2011-2012年高考题[M].北京：西藏人民出版社,2012[2]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高中课程标准实验教科书数学（必修Ⅱ）人民教育出版社,2011[3]王后雄.高考完全解读[M].接力出版社,2011[4]中学数学月刊，2012.5，基于本质的立体几何试题研究