高考立体几何试题传统证法的转化思路

1高考立体几何试题传统证法的转化思路四川张继海来源：2009年上半年《试题与研究》由于立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它成为历届高考重点考查的内容（高考试卷中对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上）．纵观近几年全国及各省市自主所命的试题，立体几何题多具有双重功能，既可用传统方法解答，也可用向量方法解答，且往往是一题多问，第一问一般是线面的平行或垂直等位置关系，第二至三问是计算空间的角和距离问题．在立体几何中引入空间向量后，虽然一些问题可以用向量为工具来解决，但往往增大了建系、计算的过程和难度，削弱了对空间想象与逻辑推理能力的要求．事实上，高考立体几何试题的传统证法依然是对中学数学教学评价必不可缺少的考查内容之一．线面的平行与垂直的判定和性质：平行垂直直线a与直线b（1）同平行于直线c的两直线平行（2）∩=b，a∥，aa∥b（3）∩=b，a∥，a∥a∥b（4）a⊥，b⊥a∥b（5）两平行平面都和第三个平面相交，则交线平行（1）a⊥b，b∥ca⊥c（2）a⊥，ba⊥b（3）三垂线定理、逆定理（4）a∥，b⊥a⊥b直线a（b）与平面（、γ）（1）a，b，a∥ba∥（2）∥，aa∥（3）a，a⊥，⊥a∥（1）m、n，m∩n=B，a⊥m，a⊥na⊥（2）a∥b，b⊥a⊥（3）∥，a⊥a⊥（4）⊥，∩=b，a，a⊥ba⊥（5）⊥，⊥γ，∩=aa⊥平面与平面（1）若内的两条相交直线a、b都平行于，则∥（2）⊥a，⊥a∥（3）平行于同一平面的两平面平行（1）l⊥，l⊥（2）∥，⊥⊥根据上述线面的平行与垂直的判定和性质，可知：“线线平行线面平行面面平行”，“线线垂直线面垂直面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙．若是单纯的判断题，通常是结合图形（或另作，或想象）将三种语言（文字、符号、图形）互译互助，利用判定定理或性质定理解决；若是线面平行、垂直关系的证明问题，基本思路是：由“已知”用性质推“可知”，看“欲证”想“要证”用判断，并借助图形直观，添加必要的辅助线（面）；若是角、距离的计算问题，首先是在原有图形上千方百计地找到（或作出）符合相关定义的角、距离，然后加以论证，最后是计算角或距离的大小．例1（08·重庆理19）如图，在△ABC中，B=90，AC=7.5，D、E两点分别在AB、AC上，使AD:DB=AE:EC=2，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求：（1）异面直线AD与BC的距离；（2）二面角A－EC－B的大小（用反三角函数表示）．思路分析（1）因为与AD、BC既垂直又相交的直线是异面直线AD与BC的公垂线，两交点间的线段长是其距离，所以图文结合，仔细领会题意，不难发现BD就是异面直线AD与BC的距离．（2）在折叠后的图中，由于AD⊥底面DBCE，所以利用三垂线定理或逆定理作出二面角A－EC－B的平面角，然后加以论证和计算．EBADCECDBA2解（1）∵AD:DB=AE:EC，∴BE∥BC．又因B=90，∴AD⊥DE．因A－DE－B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB．注意到DB⊥BC，所以DB为异面直线AD与BC的公垂线．如图，由AD:DB=AE:EC=2，得DE:BC=AD:AB=2:3．又DE=3，∴BC=4.5，AB2=AC2－BC2=36．进而BD=2，即异面直线AD与BC的距离为2．（2）如图，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连结AF．由（1）知，AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A－EC－B的平面角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，BD=2，CE=2.5，得54sinCEBDBCE，从而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DE·sin∠DEF=DE·sin∠BCE=2.4．在Rt△AFD中，AD=4，35tanDFADAFD，因此所求二面角A－EC－B的大小为35arctan．说明：1．现行教材及考纲中对异面直线的距离要求较低，在图中往往有现成的距离（不需要另作），只要根据题意加以说明（证明）它满足异面直线的距离所要求的两个条件：既垂直又相交即可．2．作二面角的平面角时，通常需要确定出（或找到）一个半平面的一条垂线，借助于三垂线定理或逆定理去作角（先作出），后证明．3．要善于熟练应用直角三角形的边角关系．例2（08·安徽理18）如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=45，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离．思路分析（1）要证直线MN∥平面OCD，只需在平面OCD内找到（若无现成的则需另作）一条直线，证明它与MN平行（这条思路本题不太容易）；或者证明直线MN所在的某个平面（常常需要另作）∥平面OCD，注意到题设中有两个中点，于是再取AD或OB的中点（如下图），则问题立即解决．（2）异面直线所成的角需要转化成两条相交直线所成的锐角或直角．所以平行移动AB或MD，使它们相交，结合图形，发现AB∥CD，而CD∩MD=D，所以∠MDC就是异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．连结CM，在△CDM中，不难得出DM=2，CM2=3－2，而CD=1，AC2=2－2，进而由余弦定理，得21212)23(21cosMDC，得∠MDC=60．所以AB与MD所成的角为60．（3）由于AB∥CD，CD平面OCD，AB平面OCD，所以AB∥平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，设为h．则OD2=OA2+AD2=5，AC2=1+1－2×1×1×cos45=2－2，OC2=4+2－2=6－2，于是4245sin1121ACDS．在△OCD中，有10152)26(152cos222CDODOCCDODODC，BADCEFMACNBDOMACNBDOEFMACNBDOMACNBDO3∴42310111521sin21ODCCDODSOCD．由VA－OCD=VO－ACD得2423142331h，所以32h．说明：1．充分利用“线线、线面、面面平行（垂直）的转化关系”进行分析，是顺利解答高考立体几何试题的重要思路．2．第（3）小题，若注意到OA⊥底面ABCD这一已知，则有以下求解方法：∵AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等．连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．∵23211422PDODOP，AP=PD，所以32OPAPOAAQ，即点B到平面OCD的距离为32．例3（08·湖北理18）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1－BC－A的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明．思路分析（1）图文结合、理解题意．要证AB⊥BC，通常是证AB垂于BC所在的某个平面或BC垂于AB所在的某个平面，于是转化为只需证明BC垂直于这个平面内的两条相交直线．为了转化并利用已知条件“平面A1BC⊥侧面A1ABB1”，所以过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，得到AD⊥平面A1BC，进而AD⊥BC．根据ABC－A1B1C1是直三棱柱，得侧棱AA1⊥底面ABC，有AA1⊥BC，而AD∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1D，故BC⊥AB．（2）连结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1－BC－A的平面角，即∠ACD=，∠ABA1=．于是在Rt△ADC中，ACADsin；在Rt△ADB中，ABADsin．由△ABC是直角三角形，AC是斜边知AB＜AC，得sin＜sin，又0＜，＜90，∴＜．说明：1．熟练理解并掌握线线、线面、面面的判定与性质，是迅速打开并探寻立体几何题解题思路的桥梁．由于判定与性质较多，故要善于选择简捷的途径．2．对于线面角或面面角，找到（或作出）平面的一条垂线是关键．3．变式：在上述条件下，若增加一个条件AA1=AC，则有结论+=90成立．A1B1BACDC1A1B1BACC1