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12.2力对时间的累积效应及其相关规律1°冲量力与力作用时间之积（2）数学式：IFtt0()GG=⋅−变力冲量：dIFdt=⋅GGtt0∫Ftt0(:)G设力从持续作用→（1）定义：力对时间的累积作为过程量,用来度量状态量[动量]变化（3）本质：恒力冲量：Fangyi2(4)说明:c冲量是矢量,其方向取决于所有元冲量矢量和d合力冲量等于各分力冲量之矢量和Proof:titiIFdt=⋅∑∫0()合GG0()titiFdt=⋅∑∫GiiI=∑GFitj=+:0~3,设秒内质点受力持续作用GGG冲量为:ttIFdt=∫0GGitjdt=+∫30()GGij=+34.5GGe平均冲力:碰撞期间与变力冲量相同的恒力tdIijdt1();==+GGG元冲量:0.58Kg篮球从2米高处垂直落下oFtt0tFmaxF.s0019N57500()ttFttFdt−=∫GGttFdtFtt⇒=−∫00GGFangyitdIijdt2(2)==+GGG32°动量定理（1）质点动量定理c表述：质点上合外力冲量等于其动量的增量d数学表达式：0Ippp=−=ΔGGGG合dmvFdt()=GGFdtdp⇒=GGtptp00∫∫GGdefpmv=GGp,是状态量称质点动量Ge应用举例vGα1vG2vG-逆风行舟的物理解释风团1pG2pGΔpGF→G风帆F⊥GF&G抵消动力,帆光滑v不变Fangyi4[例题2-5]m=0.2Kg,v0=8m/s,入射α=30°,反弹β=60°,Δt=0.01s,求小球对光滑地面平均fαβv0GvG解:选小球建坐标系yx(对碰撞过程)受力分析并作图mgf列方程()IpΔ=GG合xxxIpp=−0合00sinsinmvmvβα⇒=−yyyIpp=−0合fmgtmvmv⇒−Δ=−βα0()coscos}fmgmvt0sin()/[sin]αββΔ⇒=++N=187解:矢量图示法yxyyIpΔ⇒=合IpΔ=GG合mvfmgt0()cosΔα⇒−=mvfmgcostαΔ⇒=+0,若不计重力0185cosmvfNtα′==Δf≈⇒碰撞过程重力可忽略α0vmGβvmGpGΔ(方向)−()5[讨论题2-3]已知m=10Kg,a=3+5t(SI),作用时间0~2s求:底板对物体的I,物体的Δp解:ma受力分析如图所示FmgFmgma−=IFdt=∫20Imgadt20Fma=合()⇒=+∫Ns=⋅356IFdt=∫20合合pmadtΔ⇒=∫20tdt2010(35)=×+∫Ns=⋅160pINsΔ==⋅365pIΔ=合Fangyi(1)(2)tdt2010(9.835)=×++∫oy6（2）质点组动量定理c表述：iiiiIpp=−∑∑0合外GGG0,,,iiiiiFfpp→GGGG设质点外力内力动量从iiiittdFfppt00()()+=−∫GGGG对质点i用质点动量定理：ii∑∑iiiiiiittdtFfpp00()+=−∑∑∫∑GGGGtiiitiiiFdtpp00()=−∑∑∑∫GGGd数学表达式：合外力的冲量等于质点组动量增量Fangyi7[例题2-6]两木块mA、mB,并排放在光滑水平面上.子弹水平穿过A,B,用时Δt1,Δt2,木块对子弹阻力恒为F,求子弹穿过后vA、vB?mAmBmAmBmAmBΔt1Δt2第一过程第二过程解:第一过程AB系统用动量定理IpΔ=GG合外xAFtmv110Δ=−v1ABvFtmm11/()Δ⇒=+第二过程B用动量定理BBFtmvmvΔ=−221ABBFtFtvmmmΔΔ⇒=++212v2Fangyi(质点动量定理；质点组动量定理)ABFtmmv11()0Δ=+−83°动量守恒只有内力作用的质点组动量仅在内部传递,系统总动量保持不变.（2）数学表达式：0iiiipp=∑∑GG（3）条件：以两质点为例：0pp=GG1122110220mvmvmvmv⇒+=+GGGG1111022220()mvmvmvmv⇒−=−−GGGG0iiF=∑G外（1）表述：Fangyi9（4）说明n合成:o分解:d近似性:e创造条件:放大系统,可使动量守恒定理成立c矢量性：炮弹00iip=∑G爆炸前：，0iip=∑G爆炸后瞬间：，合外力≠0,但f内f外,总动量近似守恒。比如：爆炸、碰撞等0,0≠合外力某方向投影为，mm=23120:、动量守恒μ该方向上动量守恒.00iip=∑；0iip≠∑Fangyi1m2mm3≠=2330,0:地μμmmm123、、动量守恒光滑面10[讨论题2-4]小车上有人以v0一起东行.人对车以u西行时,判断以下求车速v1΄正、误.若不对请给出正解.注意:动量守恒基于牛顿定律,只在惯性系中成立.所有速度均对地(惯性系)FangyiMmvMvmu′+=+−01()()MmvMvmuv′+=+−+010()[()]A同学B同学C同学x1MmvMvmuv′′+=+−+01()[()]××××正解：1MmvMvmuv′′+=+−−01()[()]Mmv0光滑Mmv1΄u光滑相对地的速度错误正确求解相对速度.东西11[讨论题2-5]f作用m=1.0Kg质点,运动方程x=3t-4t2+t3(SI),0~4s内,f的冲量大小I？f对质点做功A？解:23x3t4tt=−+vdx/dt⇒=238t3t=−+adv/dt⇒=86t=−+fma⇒=f86t⇒=−+40Ifdt=⋅∫4086tdt=−+⋅∫()16Ns=⋅()22k401122AΔEmvmv==−{0v3=4v19=176J=()由定义由动量定理40IΔpmvmv16Kgms==−=(/)由定义由动能定理40xxAfdx=⋅∫423086td3t4tt=−+⋅−+∫()()176J=()求过程量I,A可用状态量变化来表示代数运算→积分运算12(5)动量守恒应用实例—碰撞c概念：持续时间极短的相互作用tffΔ→0,冲力其它特点:，动量守恒。GGd分类：（按机械能损失程度大小来分）(完全)弹性碰撞/完全非弹性碰撞/非(完全)弹性碰撞e恢复系数：正碰—碰撞前后其速度均在同一条直线上碰前v10v20f1f2碰时碰后v1v2211020defvvevv−=−eee1,0,01,=⎧⎪=⎨⎪⎩完全完全形变消除，弹性形变消除，弹性形变非非完消除，弹完全完全不不完性全全Fangyi13f三种不同类型碰撞的分析碰前v10v20碰后v1v2n完全弹性碰撞01122110220ppmvmvmvmv=⇒+=+211020e1vvvv=⇒−=−或()2222kk0112211022011112222EEmvmvmvmv=⇒+=+12102201122120110212mmv2mvvmmmmv2mvvmm()()−+⎧=⎪+⎪⎨−+⎪=⎪+⎩讨论：•m1=m2•m2m1且v20=0Fangyi(1)(2)(3)[讨论题2-6]平板Am,球Bm,水平v,完全弹性碰撞.平板光滑.碰后球运动方向为(A)A0(B)A1(C)A2(D)A3AA1A2A3A0Bv√⇒v1≈−v10,v2≈0⇒v1=v20,v2=v10速度互换14[例题2-7]A、B静止湖面,均为m,A上有一人m/2,以水平u相对A从A跳到B,不计水阻力,人跳到B后,A、B船速mmm/2ABummm/2BAvA跳出A过程前后人A系统动量守恒mmm/2BAvAvB跳入B过程前后Amuv2−()Bmmv2+()人B系统动量守恒ABvu/3,v2u/9⇒==o完全非弹性碰撞11022001211022012mvmvppmmvmvmvvmm+=⇒+=+⇒=+()2222121020k12110220121112222mmvvΔEmmvmvmvmm−=+−+=+()()()()0AAmuvmv2()()++−=ox=-15碰前v10v20碰后v1v2p非完全弹性碰撞01122110220(1)ppmvmvmvmv=⇒+=+212110201020()(4)vvevvevvvv−=⇒−=−−21020110121102022012(1)()(1)()emvvvvmmemvvvvmm+−⎧=−⎪+⎪⎨+−⎪=+⎪+⎩讨论：•m2m1锻件+铁砧m2,0kkEEEΔ=−•m2m1打桩桩m2,锤m1锤m1ΔEk小ΔEk大2222112211022011112222()()mvmvmvmv=+−+mmevvmm221210201212(1)()=−−+v20=0⇒ΔEk=E0[(1-e2)/(1+)]m1m2Fangyi-v2016[思考题2-7]平面上3只小球,1和2均以6m/s沿相互⊥方向飞行并与第3只碰,碰后质点系静止,求第3只速度0G解:建坐标系碰前0pG碰后pG36mj12mi3mv+－－GGG3v4i2j⇒=＋GGG112233mvmvmv++GGG=v1v2v32mm3mxyo17g火箭飞行原理mtvt+dtm+dmv+dvdmu-(v+dv)oxP0(m+dm)(v+dv)-(-dm)[u-(v+dv)]Pmvdmdvum⇒=−vm0mm+∫∫火火燃mvu1m⇒=+燃火ln()以火箭与喷出的气体为研究对象以喷出的气体为研究对象t-t+dt时刻，|dm|动量的增量为：dp=-|dm|(u-v-dv)-|dm|v≈-|dm|udmfudt=−喷出的气体dmfudt⇒=火Fangyi=184°质心运动定理（1）质心d数学表达式：c概念：质量中心称为质心iideficiimrrm=∑∑GG不连续defcrdmrdm=∫∫GG连续或者iiiciiiciiicmxxmmyRtymmzzm⎧⎪=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩∑∑∑系cccxdmxmydmymzdmzm⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩∫∫∫或者Fangyi19(2)质心运动定理c表述：质点系质心运动如同位于质心的质点运动——该质点既集中了质点系所有质量，又集中了质点系所受的所有外力。d数学表达式：iiciiFma=∑∑GGiideficiimrrm=∑∑GGiiiimicmrr••⇒=∑∑GGiiiciimvvm⇒=∑∑GGicipmv⇒=∑GKciidvdpmdtdt⇒=∑GG质点组动量定理Fangyi20[例题2-8]水平桌面铺一张纸,纸上放静止均匀球m,将纸向右拉时有f摩作用球上,求t秒内,球心位移解:cfma=2cc1sat2=2cfts2m⇒=fcac•mFangyi21[例题2-9]半圆凹槽M静于地,质点m从A由静止下滑,不计摩擦,试求(1)质点下滑至B点时,凹槽位移(2)质点下滑至C时m对槽v及槽对地V解:MmBOAIxoI→III过程,由质心运动定理xΔlcxlx=+Δ0()cMlmlRxMm++=+0ccxx=mRxMmΔ⇒=+MBOAvVIII另解:I→II过程mMxmVvMm⇒=+()0mMxMVmvV−−=tt∫∫00Fangyixxpp=⇒0dtdtMBOAVIIvmMθCvmMx22[例题2-9]半圆凹槽M静于地,质点m从A由静止下滑,不计摩擦,试求(1)质点下滑至B点时,凹槽位移(2)质点下滑至C时m对槽v及槽对地V解:MmBOAIM,m系统水平动量守恒xoMVmvθV0⇒−−=(sin)(1)I→II过程,(1)M,m,地球系统机械能守恒xx0pp=22211mvθVvθMV22⇒−++[(sin)(cos)](2)0EE=mgRθ=sin2mθMm2gRθVMmMmmθ+=++−sin()sin()sin2Mm2gRθvMmmθ+=+−()sin()sinFangyiMBOAVIIvmMθCvmMx