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第七章 参数估计1．随机地取８只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）７４．００１ ７４．００５ ７４．００３ ７４．００１７４．０００ ７３．９９８ ７４．００６ ７４．００２试求总体均值μ及方差σ２的矩估计值，并求样本方差s２．解 总体均值μ的矩估计值，总体方差σ２的矩估计值分别为＾μ＝珚x＝１n钞ni＝１xi， ＝１n钞ni＝１（xi－珚x）２．由给出的观察值得＾μ＝７４＋１８［０．００１＋０．００５＋０．００３＋０．００１ ＋０＋（－０．００２）＋０．００６＋０．００２］＝７４．００２，σ＾２＝１８钞８i＝１（xi－珚x）２＝１８［（－０．００１）２＋０．００３２＋０．００１２ ＋（－０．００１）２＋（－０．００２）２＋（－０．００４）２＋０．００４２＋０２］＝６×１０－６，s２＝１７钞８i＝１（xi－珚x）２＝８７σ＾２＝８７×６×１０－６＝６．８６×１０－６．事实上，只需将观察值输入具有统计功能的计算器，就能直接读出珚x，σ＾２和s．读者应掌握计算器的统计功能的用法．2．设X１，X２，…，Xn为总体的一个样本，x１，x２，…，xn为一相应的样本值．求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值．（１）f（x）＝θcθx－（θ＋１），x＞c，０，其他，其中c＞０为已知，θ＞１，θ为未知参数．（２）f（x）＝θxθ－１，０≤x≤１，０，其他，其中θ＞０，θ为未知参数．（３）P｛X＝x｝＝mxpx（１－p）m－x，x＝０，１，２，…，m，其中０＜p＜１，p为未知参数．解 （１）μ１＝∫∞－∞xf（x）dx＝∫∞cxθcθx－（θ＋１）dx＝θcθ∫∞cx－θdx＝θcθx－θ＋１－θ＋１∞c＝cθθ－１，由此得θ＝μ１μ１－c．在上式中以珡X代替μ１，得到θ的矩估计量和矩估计值分别为θ＾＝珡X珡X－c， θ＾＝珚x珚x－c．（２）μ１＝∫１０xθxθ－１dx＝∫１０θxθdx＝θθ＋１．由此得θ＝μ１１－μ１２．在上式中以珡X代替μ１，得θ的矩估计量和矩估计值分别为θ＾＝珡X１－珡X２， θ＾＝珚x１－珚x２． （３）因μ１＝E（X）＝mp，得p＝μ１m，以珡X代替μ１，得到p的矩估计量和矩估计值分别为p＾＝珡Xm， p＾＝珚xm． 3．求上题中各未知参数的最大似然估计值和估计量．解 （１）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为L＝L（x１，x２，…，xn；θ）＝∏ni＝１θcθx－（θ＋１）i＝（θcθ）n∏ni＝１x－（θ＋１）i＝（θcθ）n∏ni＝１xi－（θ＋１）．lnL＝n（lnθ＋θlnc）－（θ＋１）ln∏ni＝１xi．令ddθlnL＝n１θ＋lnc－钞ni＝１lnxi＝０，得θ的最大似然估计值为θ＾＝１１n钞ni＝１lnxi－lnc，531第七章 参数估计θ的最大似然估计量为θ＾＝１１n钞ni＝１lnXi－lnc．（２）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为L＝∏ni＝１（θxθ－１i）＝θn／２∏ni＝１xiθ－１，lnL＝n２lnθ＋（θ－１）钞ni＝１lnxi．令ddθlnL＝n２θ＋１２θ钞ni＝１lnxi＝０，得θ的最大似然估计值为θ＾＝n２钞ni＝１lnxi２，θ的最大似然估计量为θ＾＝n２钞ni＝１lnXi２． （３）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为 L＝∏ni＝１P｛Xi＝xi｝＝∏ni＝１mxipxi（１－p）m－xi＝∏ni＝１mxip钞ni＝１xi（１－p）nm－钞ni＝１xi，lnL＝ln∏ni＝１mxi＋钞ni＝１xilnp＋（nm－钞ni＝１xi）ln（１－p），令ddplnL＝钞ni＝１xi１p－（nm－钞ni＝１xi）１１－p＝０，得p的最大似然估计值为p＾＝钞ni＝１xinm＝珚xm， 其中珚x＝１n钞ni＝１xi，p的最大似然估计量为p＾＝珡Xm． 4．（１）设总体X具有分布律631概率论与数理统计习题全解指南X１２３pkθ２２θ（１－θ）（１－θ）２其中θ（０＜θ＜１）为未知参数．已知取得了样本值x１＝１，x２＝２，x３＝１．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．（２）设X１，X２，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的最大似然估计量及矩估计量．（３）设随机变量X服从以r，p为参数的负二项分布，其分布律为P｛X＝xk｝＝xk－１r－１pr（１－p）xk－r， xk＝r，r＋１，…，其中r已知，p未知．设有样本值x１，x２，…，xn，试求p的最大似然估计值．解 （１）（i）μ１＝θ２＋２×２θ（１－θ）＋３×（１－θ）２＝３－２θ．解得θ＝１２（３－μ１），故得θ的矩估计值为θ＾＝１２（３－珚x）．今珚x＝１３（x１＋x２＋x３）＝１３（１＋２＋１）＝４３，故θ的矩估计值为θ ＾ ＝５６．（ii）由给定的样本值，得似然函数为L＝∏３i＝１P｛Xi＝xi｝＝P｛X１＝１｝P｛X２＝２｝P｛X３＝１｝＝θ２·２θ（１－θ）·θ２＝２θ５（１－θ），lnL＝ln２＋５lnθ＋ln（１－θ）．令ddθlnL＝５θ－１１－θ＝０，得θ的最大似然估计值为θ＾＝５６．（２）（i）设x１，x２，…，xn是相应于样本X１，X２，…，Xn的样本值，则似然函数为L＝∏ni＝１λxie－λxi！＝e－nλλ钞ni＝１xi∏ni＝１xi！，lnL＝－nλ＋钞ni＝１xilnλ－ln∏ni＝１xi！．令ddλlnL＝－n＋钞ni＝１xiλ＝０，731第七章 参数估计得λ的最大似然估计值为λ＾＝１n钞ni＝１xi＝珚x，最大似然估计量为λ＾＝珡X． （ii）因μ１＝E（X）＝λ，故λ的矩估计量也是λ＾＝珡X．（３）似然函数为L（p）＝∏nk＝１P｛X＝xk｝＝∏nk＝１xk－１r－１pr（１－p）xk－r＝∏nk＝１xk－１r－１pnr（１－p）钞nk＝１xk－nr，lnL＝lnC＋nrlnp＋钞nk＝１xk－nrln（１－p），C为常数．令 ddp（lnL）＝nrp－１１－p钞nk＝１xk－nr＝０，得p的最大似然估计值为＾p＝r珚x．5．设某种电子器件的寿命（以h计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为f（t）＝１θe－（t－c）／θ，t≥c，０，其他，其中c，θ（c，θ＞０）为未知参数．自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验．设它们的失效时间依次为x１≤x２≤…≤xn．（１）求θ与c的最大似然估计值．（２）求θ与c的矩估计量．解 （１）似然函数为L（θ，c）＝L（x１，x２，…，xn；θ，c）＝∏ni＝１１θe－（xi－c）／θ，x１，x２，…，xn≥c，０，其他．由题设x１≤x２≤…≤xn，故x１，x２，…，xn≥c相当于x１≥c，因而上式相当于L（θ，c）＝１θne－钞ni＝１xi－ncθc≤x１，０，c＞x１．可知当c≤x１时，L（θ，c）随c的增加而递增，而当c＞x１时L（θ，c）＝０，因而对于固定的θ，L（θ，c）在c＝x１取到最大值，从而知应取＾c＝x１．831概率论与数理统计习题全解指南另外，当c≤x１时，将L（θ，c）取自然对数得lnL（θ，c）＝－nlnθ－１θ钞ni＝１xi－nc．令抄抄θlnL（θ，c）＝０，得抄抄θlnL（θ，c）＝－nθ＋钞ni＝１xi－ncθ２＝０，于是θ＝珚x－c．由此可知c，θ的最大似然估计值为＾c＝x１，θ＾＝珚x－x１．（２）μ１＝∫∞－∞tf（t）dt＝∫∞ctθe－（t－c）／θdt，令u＝t－cθ，得μ１＝∫∞０（θu＋c）e－udu＝c＋θΓ（２）＝c＋θ，μ２＝∫∞－∞t２f（t）dt＝∫∞ct２θe－（t－c）／θdt，令u＝t－cθ，得μ２＝∫∞０（θu＋c）２e－udu＝θ２Γ（３）＋２cθΓ（２）＋c２＝２θ２＋２cθ＋c２＝（c＋θ）２＋θ２，由此得θ＝μ２－μ２１， c＝μ１－μ２－μ２１．将上两式中的μ１，μ２分别换成A１＝珡X，A２＝１n钞ni＝１X２i，并注意到A２－A２１＝１n钞ni＝１（Xi－珡X）２，就得到θ及c的矩估计量为θ＾＝１n钞ni＝１（Xi－珡X）２， ＾c＝珡X－１n钞ni＝１（Xi－珡X）２．6．一地质学家为研究密歇根湖湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取１００个样品，每个样品有１０块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这１００次观察相互独立，并且由过去经验知，它们都服从参数为m＝１０，p的二931第七章 参数估计项分布，p是这地区一块石子是石灰石的概率．求p的最大似然估计值．该地质学家所得的数据如下：样品中属石灰石的石子数i０１２３４５６７８９１０观察到i块石灰石的样品个数０１６７２３２６２１１２３１０解 设X为一个样品中属石灰石的石子数，则X～b（１０，p），由本章习题第３题知p的最大似然估计值为＾p＝珚x１０．由给出的数据得珚x＝１１００［０×０＋１×１＋６×２＋７×３＋…＋３×８＋１×９＋０×１０］＝４．９９，于是＾p＝４．９９１０＝０．４９９．7．（１）设X１，X２，…，Xn是来自总体X的一个样本，且X～π（λ），求P｛X＝０｝的最大似然估计值．（２）某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布．求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计．使用下面１２２个观察值．下表中，r表示一扳道员五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数．r０１２３４５s４４４２２１９４２解 （１）设x１，x２，…，xn是相应于样本X１，X２，…，Xn的样本值．本题需求P｛X＝０｝＝λ０e－λ０！＝e－λ的最大似然估计．由第４题知λ的最大似然估计值λ＾＝珚x，又由于函数u＝e－λ具有单值反函数：λ＝－lnu，由最大似然估计的不变性知P｛X＝０｝＝e－λ的最大似然估计值为P＾｛X＝０｝＝e－x —． （２）由所给数据，得珚x＝１１２２钞１２２i＝１xi＝１１２２（４４×０＋４２×１＋２１×２＋９×３＋４×４＋２×５）＝１３７１２２．041概率论与数理统计习题全解指南由（１）知，扳道员五年内未引起严重事故的概率p＝P｛X＝０｝＝e－λ的最大似然估计值为p＾＝P＾｛X＝０｝＝e－x —＝e－１３７／１２２＝０．３２５３． 8．（１）设X１，X２，…，Xn是来自概率密度为f（x；θ）＝θxθ－１， ０＜x＜１，０，其他的总体的样本，θ未知，求U＝e－１／θ的最大似然估计值．（２）设X１，X２，…，Xn是来自正态总体N（μ，１）的样本．μ未知，求θ＝P｛X＞２｝的最大似然估计值．（３）设x１，x２，…，xn是来自总体b（m，θ）的样本值，又θ＝１３（１＋β），求β的最大似然估计值．解 （１）先求θ的最大似然估计．似然函数为L（θ）＝∏ni＝１θxθ－１i＝θn∏ni＝１xiθ－１，lnL（θ）＝nlnθ＋（θ－１）ln∏ni＝１xi．令dlnL（θ）dθ＝nθ＋钞ni＝１lnxi＝０，得θ的最大似然估计值为＾θ＝－n钞ni＝１lnxi．（倡１）U＝e－１／θ具有单调反函数，故由最大似然估计的不变性知U的最大似然估计值为U＾＝e－１／＾θ，其中＾θ由（倡１）所确定．（２）已知μ的最大似然估计为＾μ＝珚x．而θ＝P｛X＞２｝＝１－P｛X≤２｝＝１－Φ（２－μ）具有单调反函数．由最大似然估计的不变性得θ＝P｛X＞２｝的最大似然估计值为＾θ＝１－Φ（２－＾μ）＝１－Φ（２－珚x）．（３）由本章习题第３题知二项分布X～b（m，θ）的参数θ的最大似然估计为＾θ＝珚x／m．由最大似然估计的不变性得β＝３θ－１的最大似然估计值为＾β＝３＾θ－１＝３珚xm－１．9．（１）验证教材第六章§３定理四中的统计量141第七章 参数估计S２w＝n１－１n１＋n２－２S２１＋n２－１n１＋n２－２S２２＝（n１－１）S２１＋（n２－１）S２２n１＋n２－２是两总体公共方差σ２的无偏估计量（S２w称为σ２的合并估计）．（２）设总体X的数学期望为μ，X１，X２，…，Xn是来自X的样本，a１，a２，…，an是任意常数，验证（钞ni＝１aiXi）钞ni＝１ai（其中钞ni＝１ai≠０）是μ的无偏估计量．证 （１）