新建03连续体系统的振动

1连续体系统的振动第三章引言mkcmmm2kck2kk1u2u3u离散系统引言连续系统分布参数系统无限自由度系统引言杆：以拉压为主要变形的构件FF轴：以扭转为主要变形的构件TT梁：以弯曲为主要变形的构件F一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸板：一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由度系统。5研究对象:限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。线性偏微分方程精确解（解析解）近似解（数值解）63.1弹性杆的纵向振动圆轴的扭转振动弦的横向振动yxEA,l,F杆的纵向振动•三类部件振动方程形式相同73.1.1直杆的纵向振动微分方程设有长度为l的直杆，取杆的轴线作为x轴。记杆在坐标x的横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为(x)，用u(x,t)表示坐标为x的截面在时刻t的纵向位移，f(x,t)是单位长度杆上分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。oux,t)(()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd8oux,t)(()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd杆的纵向应变和轴向力分别为xtxutx),(),(xtxftxNxxtxNtxNttxuxxAxd),(),(]d),(),([),(d)()(22dxxduEExStatic)()(xtxuEtxDynamic),(),(xtxuxAxEtxxAxEtxN),()()(),()()(),(根据Newton第二定律9对于均匀材料的等截面直杆，ρ(x)E(x)A(x)为常数，杆的正规形式方程为：222221uxttuxtxAfxt(,)(,)(,)Edef是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度.()()(,)[()()(,)](,)xAxuxttxExAxuxtxfxt22直杆纵向受迫振动正规形式微分方程其中2222(,)(,)(,)uxtuxtAEAfxttx正规方程用于振动求解简化方程用于固有振动分析103.1.2杆的纵向固有振动无外激励，齐次方程为uxtUxqt(,)()()偏微分方程分离变量解法:令22222uxttuxtx(,)(,)UxqtqtUx()()()()211()()()()qtqtUxUx2两端必同时等于一常数。可以证明，该常数不会为正数.22)()()()(xUxUtqtq12UxUxqtqt()()()()()2200Uxaxaxqtbtbt()cossin()cossin12121212(,)(cossin)(cossin)uxtUqaxaxbtbt---杆的固有振动杆的边界条件：是杆两端对变形和轴向力的约束条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。13a.在固定端：0xuEANU0简单边界条件（固定端或自由端）例试求x=0端固定,x=l端自由的等截面直杆纵向固有振动。UUl(),()000aal1200,cosxaxaxUsincos)(210u0Ub.在自由端：解：边界条件为：14rrlr(),,1212,2,1,2)12(sinsin)(22rlxraxaxUrrUxrxlrr()sin(),,,21212uxtrxlbtbtrrrrrr(,)sin()(cossin),,,2121212求出无穷多个固有频率:cosl0由杆的固有振动解为:)21(,02rlar15而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为,2,1,sin)(,rlxrxUlrrr,2,1,)1(cos)(,)1(rlxrxUlvrrr对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有振型函数为uxtaxaxbtbt(,)(cossin)(cossin)1212112(,)uxtcct1016杆的实际物理振动应该是无限多个固有振动的线性叠加---模态叠加法1(,)()()rrruxtUxqt17xsinsin2sin3coscos2xxxxxsinsinsin22253xxcos0=1三种边界条件下杆的前3阶固有振型固有振型曲线与坐标轴的交点为节点，系统固有振动幅值在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第r阶固有振型有r-1个节点。18复杂边界条件a.一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时kutEAutxkultEAultx(,)(,),(,)(,)00kUEAUkUlEAUl()(),()()00NNkuku0),(),(,0),0(),0(xtluEAtlkuxtuEAtkuuxtUxqt(,)()()--反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系19b.一端装有集中质量m时0),(),(,0),0(),0(2222xtluEAttlumxtuEAttummUEAUmUlEAUl2200()(),()()muttEAutxmulttEAultx222200(,)(,),(,)(,)0)()(),(2qqtqxUtxuNNumummm20)()(,0)0(2lUEAlUmUyxEI,lmlEAlmacossin,021xaxaxUsincos)(21固有频率方程tandefdefAlml,解：杆的振型函数为：=E边界条件：21tan10860./l23426./l36437./ltan21lAlmEAmlkmkEAl/1tan1，a.如果杆的质量相对于集中质量很小，即rrl/0246810-2026.4373.4260.860gtan1/F1F2F31123其中与将弹性杆视为无质量弹簧得到的单自由度系统固有频率一致。是整根杆的静拉压刚度。又所以22b.若杆质量小于集中质量，但比值不是非常小，可取Taylor展开，将频率方程写作1tan/332213()解出并Taylor展开至二次项12122321431313()/1133lEAlmAlkmAl///相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。233.1.2固有振型函数的正交性xxUxUxUxUxUxUxxUxUxxUxUlsrrsllrsllrsrsrd)()()()()(d)(d)()(d)()()(000002UxUxrrr()()()200)()0(lUU固定边界:0)(')0('lUU自由边界:)()()()()(2xUxUxUxUrsrsrllsrsrrxxUxUxxUxU002d)()(d)()()((a)24lsrsrxxUxU02220d)()((a)-(b)同理可得llrsrssxxUxUxxUxU002d)()(d)()()((b)llsrsrrxxUxUxxUxU002d)()(d)()()((a)lsrsrxxUxU00d)()(lsrsrxxUxU00d)()(rs杆的固有频率互异25当时，定义杆的第r阶模态质量和模态刚度为rsxxAUMlrdefrd)(02rrrKMr212,,,它们的大小取决于如何对固有振型函数归一化，但其比值总满足:lsrsrxxUxU00d)()(lsrsrxxUxU00d)()(,2,1,d)]([02rxxUEAKlrdefr26对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有振型的加权正交关系式为()()()()()()()()xAxUxUxxMExAxUxUxxKrsrrslrsrrsldd00即使对均匀截面直杆，其固有振型的加权正交关系的正规表达式也应写为00()()d()()dlrsrrslrsrrsAUxUxxMEAUxUxxK---正规表达式定义了模态质量和模态刚度27杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶次固有振动间既无动能交换又无势能交换.2222(,)(,)(,)uxtuxtAEAfxttx1(,)()()rrruxtUxqt()()0rrrrMqtKqt22200111122220llerrkrrrekrrrrrEdvKqEudmMqdEEqMqKqdt28直杆振动问题模态叠加法求解总体思路（1）从直杆振动正规方程出发：2222(,)(,)(,)uxtuxtAEAfxttx（3）引入模态叠加法（坐标变换）1(,)()()rrruxtUxqt（4）应用正交性条件得到解耦方程：()()()rrrrrMqtKqtft2200()d,,()(,)()dllrrrrrrrMAUxxKMftfxtUxx（5）求解解耦后的各单自由度方程（自由、简谐、一般）（6）模态叠加得到原问题解（2）固有振动分析得到频率和振型函数29直杆振动问题模态叠加法求解总体思路---模态坐标下初始条件确定1(,)()()rrruxtUxqt()()()(0),(0)?rrrrrrrMqtKqtftqq由1(,0)()(0)rrruxUxq1(,0)()(0)rrruxUxq01(0)(,0)()lrrrqAuxUxdxM01(0)(,0)()lrrrqAuxUxdxM303.1.3杆的自由振动1211(,)()()()(cossin)rrrrrrrrruxtUxqtUxbtbt当杆的固有频率和固有振型函数确定后，根据线性系统的叠加原理，其自由振动是各阶固有振动的线性组合，即uxuxuxtvx(,)(),(,)()0000311002001()()d,1()()d,1,2,lrrrlrrrrbAuxUxxMbAvxUxxrM,2,1d)()(d)()(d)()(d)()(00200010rxxUxAUbxxUxAvxxUxAUbxxUxAullrrrrrllrrrr110)()()0,(rrrxUbxuxu120)()()0,(rrrrxUbxvtxu32解：左端固定、右端自由的直杆固有频率和固有振型函数分别为blfrEAbrrrr1102221821012()(),,,,rrrlUxrxlr(),()sin(),,,21221212MAUxxAlrrrl201212(),,,duxfxEAvx0000(),()杆在静力下的初始状态为0f)(0xu33uxtlfEArrxlrltrr(,)[()()sin()]cos()812121221202121杆的纵向自由振动响应是杆的自由振动由无限多固有振动线性组合而成。但由于因子随着r增加迅速衰减，高阶固有振动的贡献并不大。1212/()rtllxtllxtllxtllxEAl