指数导数与实对数导数的微分中值定理

2005年江苏省普通高校优秀毕业论文参评论文徐州师范大学本科生毕业论文（2005届）指数导数与实对数导数的微分中值定理TheDifferentialMeanValueTheoremsofExponentialDerivativeAndRealLogarithmicDerivative姓名（学号）：杨玉娟（01211161）院系：数学系专业、年级、班级：数学与应用数学2001级（3）班指导教师：朱江教授徐州师范大学教务处印制目录目录中文摘要………………..……………………………………………..………….…….2第一章引言……………………………………………………..…………………....3第二章预备知识……………………………………………..……………...………4第三章指数导数…………………………………………………..……...…………..93.1指数导数的微分中值定理……………………………………...………………..93.2指数导数的微分中值定理的“中间点”的渐近性……………………..…….143.3指数导数的微分中值定理的反问题……………………………………...……16第四章实对数导数………………………………………………………………….194.1实对数导数的微分中值定理……………………………………………...……194.2实对数导数的微分中值定理的“中间点”的渐近性……………………...…234.3实对数导数的微分中值定理的反问题…………………………………….......24第五章泛函指数导数与对数导数…………………………………….………....…285.1泛函指数导数…………………………………………………...………….....285.2泛函对数导数…………………………………………………...………….…34参考文献……………………………………………………………………………..…40Abstract（英文摘要）……………………………………………………………..….41致谢………………………………………………………………………………….….421中文摘要摘要首先,本文证明了反函数的指数导数与实对数导数的求导法则.在指数导数与实对数导数意义下建立了著名的罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理.讨论了中值定理和泰勒定理“中间点”的渐近性以及中值定理和泰勒定理的反问题.给出了指数导数微分中值定理高阶的推广形式.其次,文中在Banach空间中提出了泛函指数导数与实对数导数的概念，讨论了泛函指数导数与实对数导数的性质，建立了泛函指数导数与实对数导数的中值定理，讨论了“中间点”的渐近性和中值定理的反问题。文中的所有结论都是新结果，推进了参考文献中的工作。关键词指数导数；实对数导数；微分中值定理；泰勒定理；Banach空间；Fréchet导数.2第一章引言第一章引言微分中值定理，是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来受到人们的重视.人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了.按文献[1]的记载：1637年，著名法国数学家费马（Femat,1601—1665）在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一定理.1691年，法国数学家罗尔（Rolle,1652--1719）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年，法国数学家拉格朗日（Largrange,1736—1813）在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西（Cauchy,1789—1857）,他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位.例如柯西利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明，并研究泰勒公式的余项.从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分.由于微分中值定理在理论和应用上的重要性.关于微分中值定理的研究和推广一直是分析学中比较普遍受人关注的研究课题.关于这方面近期研究情况可以参见文献[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11].如文献[2]、[3]、[4]、[5]、[6]中研究了微分中值定理的“中间点”的渐近性.文献[7]、[8]、[9]中讨论了微分中值定理的逆定理.文献[10]、[11]中讨论了中值定理的推广.近几年，人们提出了指数导数[12]与实对数导数[13]的概念，及指数可导、实对数可导与常规意义下可导的关系等式.接着他们研究了指数可导、实对数可导的“复合函数的求导法则”，而在指数导数、实对数导数意义下的微分中值定理、微分中值定理的“中间点”的渐近性、微分中值定理的逆定理、微分中值定理的推广形式，如何在更抽象的Banach空间上定义泛函的指数导数、实对数导数以及如何建立相应的微分中值定理等问题目前还没有人研究，本文就这几方面进行了研究.本文分为五个部分：第一章是引言.第二章是预备知识.第三章是指数导数部分，在这一部分中，主要讨论了：1.指数导数的微分中值定理，其中有“反函数的指数导数的求导法则”、“指数导数的罗尔（Rolle）中值定理”、“指数导数的拉格朗日（Lagrange）中值定理”、“指数导数的柯西(Cauchy)中值定理”及“指数导数的泰勒(Taylor)定理”.2.指数导数的微分中值定理的“中间点”的渐近性，讨论了中值定理和泰勒(Taylor)定理“中间点”的渐近性.3.指数导数的微分中值定理的反问题，讨论了中值定理和泰勒(Taylor)定理的反问题.第四章是实对数导数部分，在这一部分中，主要讨论了：1.实对数导数的微分中值定理，其中有“反函数的实对数可导的求导法则”、“实对数导数的罗尔（Rolle）中值定理”、“实对数导数的拉格朗日（Lagrange）中值定理”、“实对数导数的柯西(Cauchy)中值定理”及“实对数导数的泰勒(Taylor)定理”.2.实对数导数的微分中值定理的“中间点”的渐近性，讨论了柯西(Cauchy)中值定理“中间点”的渐近性.3.实对数导数的微分中值定理的反问题，讨论了实对数导数的柯西(Cauchy)中值定理的逆问题.最后还给出了指数导数微分中值定理高阶的推广形式.第五章是泛函指数导数与对数导数，在这一部分中，本文又给出了在Banach空间上的泛函的指数导数与对数导数的定义，建立了相应的微分中值定理，讨论了中间点的渐近性和中值定理的反问题.3第二章预备知识第二章预备知识在这一章我们给出了本文将要用到的有关指数导数、对数导数、中值定理、泰勒定理、Banach空间的非线性算子的Fréchet导数等基本概念和结论.记，0xxx−=Δ)()()(xfxxfxf−Δ+=Δ.定义2.1[12]设)(xfy=在的某邻域有定义，若极限0x100lim(1()).xxfxΔΔ→+Δ存在，则称函数)(xfy=在点指数可导，记作.0xx=)(0xfy∨∨=若函数在定义域中的任何一点)(xfy=x指数可导，则称函数)(xfy=指数可导，记作.即)(xfy∨∨=.))(1(lim)(10xxxfxfΔ→Δ∨Δ+=引理2.1[12]（可导与指数可导的充分必要条件）函数可导的充分必要条件是)(xfy=)(xfy=指数可导.引理2.2[12]（可导与指数可导的关系等式）设可导或指数可导，则)(xf)(xf（1）；)()(xfexf′∨=（2），)(ln)(xfxf∨=′引理2.3[13]设为)(xfy=)(yxϕ=的反函数，若)(yϕ在点的某邻域内连续，严格单调且0y0)(0≠′yϕ，则在点)(xf))((000yxxϕ=可导.且)(1)(00yxfϕ′=′.例2.1[12]几个常见公式(1);1)(=∨c(2),;xaxaa=∨)(xexee=∨)((3);1)(−=∨μμμxex4第二章预备知识(4);xexcos)(sin=∨(5).xexsin)(cos−∨=引理2.4[13]（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足如下条件：f（i）在闭区间[a,b]上连续；f（ii）在开区间（a,b）内可导，f则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得abafbff−−=′)()()(ξ.引理2.5[13]（柯西（Cauchy）中值定理）若（i）函数与fg都在闭区间[a,b]上连续；（ii）与fg都在开区间（a,b）内可导；（iii）与f′g′在(a,b)内不同时为零；（iv），)()(bgag≠则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(agbgafbfgf−−=′′ξξ.定义2.2[14]设在的某邻域有定义，且)(xfy=0x0)(0≠xf.若极限))()(1ln(1lim000xfxfxxΔ+Δ→Δ.存在，则称函数)(xfy=在点实对数可导，记作.0xx=)(0xfy∧∧=若函数在定义域中满足)(xfy=0)(≠xf的任何一点x实对数可导，称函数实对数可导，记作.)(xfy=)(xfy∧∧=5第二章预备知识引理2.6[14](可导与实对数可导的充分必要条件)设，（常义）可导的充分必要条件是0)(≠xf)(xfy=)(xfy=实对数可导.引理2.7[14]，若函数（常义）可导或实对数可导，则0)(≠xf)(xf)(xf)()()(xfxfxf′=∧;.)()()(xfxfxf∧=′例2.2[14]实对数导数常用计算公式：.1ln)(;tan)(cos;cot)(sin;)(;ln1)(ln;ln)();0(0)(+=−=====≠=∧∧∧∧∧∧∧xxxxxxxxxxxaaccxxμμ定义2.3[15]函数的对数导数的指数导数称为函数)(xfy=)(xfy=的二阶对数导数；当k为奇数时，k阶对数导数的指数导数称为函数)(xfy=的（k+1）阶对数导数；当k为偶数时，k阶对数导数的对数导数称为函数)(xfy=的（k+1）阶对数导数，用表示函数的k阶对数导数.)(xfk∧)(xf定义2.4[15]函数的指数导数的对数导数称为函数)(xfy=)(xfy=的二阶指数导数；当k为奇数时，k阶指数导数的对数导数称为函数)(xfy=的（k+1）阶指数导数；当k为偶数时，k阶指数导数的指数导数称为函数)(xfy=的（k+1）阶指数导数，用表示函数的k阶指数导数.)(xfk∨)(xf引理2.8[13]（泰勒定理）若函数满足如下条件：f（i）在闭区间上函数存在直到n阶连续导数；],[baf（ii）在开区间内存在的n+1阶导数，),(baf则对任何，至少存在一点),(bax∈),(ba∈ξ，使得6第二章预备知识.)()!1()()(!)()(!2)())(()()(1)1()(2++−++−++−′′+−′+=nnnnaxnfaxnafaxafaxafafxfξ引理2.9[2]（柯西(Cauchy)中值定理“中间点”的渐近性定理）若函数)(tf、)(tg在[a,x]上满足柯西中值定理的条件,函数)()(tgtf′′在点a存在n阶导数,且0])()([)(≠′′nagaf(n=1),或0])()([])()([)1(=′′==′′′−nagafagaf但0])()([)(≠′′nagaf（n2）,≥ξ如柯西中值定理所取.则naxnaxa1)11(lim+=−−→ξ.引理2.10[2]（泰勒（Taylor）定理“中间点”的渐近性定理）设()ft在点存在阶导数，且ank+()()0(1)nkfak+≠=或而()()0nkfa+≠(1)()nfa+=(1)()0(2)nkfak+−==≥，ξ如泰勒公式所取，则1lim[]kxaankxanξ−→−+=−.引理2.11[9]（柯西(Cauchy)中值定理的逆定理）设函数)(xf,)(xg在（a,b）内具有二阶导数,且对任意，x∈（a，b),0)()()()(≠′′′−′′′xgxfxgxf及0