量纲分析法

量纲分析法一、量纲1.量纲的定义是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、加速度。2.基本量纲彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。3.导出量最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。国际单位制中基本量纲为：[L]、[t]、[M]、[T]。二、量纲分析法—π定理1.量纲和谐原理一个正确而完整地描述物理现象的方程式，其两边各项的量纲必须一致。通过量纲分析，能将影响物理现象的各种变量合理组合，将有量纲的量变成无量纲的积。由于无量纲积的数量少于原来有量纲变量的数目，所以可以使问题得到大大简化。2．π定理（又称相似第二定理）当一物理现象可由n个物理量的函数关系来描述，而这些物理量包括有m个基本变量时，则可以用因次分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即π定理，是因次分析的基本定理，它是由Bucking-ham于1914年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。例题：一个细玻璃管插入水中，由于表面张力的作用产生毛细现象。管中水柱上升的高度h和水的密度、表面张力系数、重力加速度g和玻璃管的内径d有关。试用定理确定h的表达式。解：步骤1：设其一般的函数关系为d,g,,fh步骤2：列写变量的量纲幂指数矩阵设有变量n,,iqi1影响某个流动过程，则n个变量的量纲幂指数矩阵为1q2q…nq1Q11C12C…nC12Q21C22C…nC2mQ1mC2mC…mnCjiC—为变量iq对应的量纲幂指数；jQ—基本量纲。量纲幂指数矩阵表hgdM01010L1-3101t00-2-20步骤3：选定某k个变量作为独立的变量。作为独立变量的变量必须满足下列两个条件为：(1)选定的k个独立变量本身不能组成无量纲的组合量即不存在一组不全为零的幂指数nk,k,,ii1，使下式成立1002012121mkQQQqqqk1q2q…kq1Q11C12C…kC12Q21C22C…kC2mQ1mC2mC…mkC111211212121kiimikiiikiiikCmCCkQQQqqq0212222111211kkkkkkCCCCCCCCC00022112221211212111kkkkkkkkkkCCCCCCCCC（2）独立变量以外的任一变量iq的量纲均可用选定的k个变量的量纲幂乘积来表示，即ikiikiqqqq2121kikikkikikikikiiCCCCCCCC2211112121110212222111211kkkkkkCCCCCCCCC于是，有可见，nk,k,,iqi1作为独立变量的充要条件为：0212222111211kkkkkkCCCCCCCCC选、、d三个变量，则他们的量纲幂指数满足充要条件，即02020103011故选择、、d三个变量为独立变量。步骤4：用独立变量的待定幂指数乘积形式与其余变量中的每个变量组成无量纲数n,knjj，并代入变量的量纲组成量纲关系式。如在该问题中，有：32132154BBBAAAdgdh步骤5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂指数相等，可得到指数方程式，求解该方程，便可求解独立变量的待定幂指数，从而可得到j的表达式。如在该问题中，令：3213212320005230004BBBAAALMtMLLttLMLMtMLLtLM2312123121223100052310004BBBBBAAAAAtLMtLMtLMtLM254dgdh02203100203102312123121＝＝BBBBBAAAAA2312123121223100052310004BBBBBAAAAAtLMtLMtLMtLM步骤6：建立函数关系式0nkn,,f。至于函数关系的具体形式则要通过实验确定。在该问题中为：54f2dgfdh[解]根据题意知,,,,,ldfp选择作为基本变量，于是,,d666555444654,,,zyxzyxzyxzyxddlddp例题：管中流动的沿程水头损失。p根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦而造成的压强差与下列因素有关：管路直径d，管中平均速度，流体动力粘度，管路长度l，管壁的粗糙度，流体的密度。试求水中流动的沿程水头损失。各物理量的量纲如下：量纲物理量dL1LT3MLp11TMLlLL21TMLyzyxzzyxTLMMLLTLTML331210,2,1xyz2p为无量纲的量，所以有同理有，分别有：4444444433111yzyxzzyTLMMLLTLTMLx1,1,1444xyzd4ddl65,ddldfP,,2dvdgPhfReddlfggPhf,,Re12gdldgPhf2,Re12gdldhf2Re2，莫迪图例题：在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为b，孔长为L)的体积流量Q为动力粘性系数、单位长度上的压降及b的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的前提下，若b加倍，流量有何变化？Lp/解：此处相当于流量系数）为待求的无因次系数（式中写出指数关系式）（写出隐函数形式）（)(20),,,(1QbLpQQbLpQf倍。倍时，流量增加增加可见，当或整理方程）（＝＝＝－得、、根据量纲和谐原理求表示各物理量的量纲以基本量纲（）（写出量纲式）（161641121:0:23:)5(][][][][)4][][][344221113bQLpbQLpbQQTMLLTMLTMLTLL,M,TbLpQ例题：飞行物体在静止空气中运动相当于气流绕固定物体流动。根据测定，绕流时流体所受到的阻力D与物体横断面线性尺寸l，气流平均流速，气体密度，动力粘度有关，试分析绕流阻力公式。zyxzyxzyxMLLTLMLTllDTMLMLLTLlMLTDllfD][][][][3,][][,][][,][][,][][,][][2,,),,,(13124411312i444：对和）解出（及）写出各物理量纲和（选择基本量写出阻力函数式）（解：)(41222:31:1:][][][][:1222:31:1:224444444443111422444lflDlzyxyTzyxLzMMLLTLMMLlDzyxyTzyxLzMzyx写成准则方程）（所以解得对所以解得的关系曲线。关，可由实验测取二者有可压缩流体中与称绕流阻力系数，在不式中：绕流阻力计算公式。此即为著名的雷利（，变成标准形式：正，故将该式稍作变形因为最终有系数进行修响公式结果，在公式中增减常数不影或写成Re(Re)Rayleigh)2(Re)2)Re1(2222fCACfADflDDD水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下式:EHdfVsmmmm,,,,,式中：mV—单个颗粒的切削率；m—颗粒的速度；m—磨料的密度；md—颗粒的平均直径；s—被加工材料的屈服强度；H、E—材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射流打孔过程的新数学模型，通过试验验证该模型的误差仅为3%～10%。