1应用题中的不变量一、部分量不变例1、育红小学六年级图书角原来有科技书与文艺书本数比是5∶6,借出10本科技书后,科技书与文艺书本数比是3∶4。科技书原来有多少本?解法一:本题文艺书本数不变。由原来有科技书是文艺书本数的56,现在科技书是文艺书本数的34,则文艺书本数是10÷(56-34)本,得科技书原来有的本数。10÷(56-34)×56=10÷112×56=100(本)解法二:本题文艺书本数不变。由科技书与文艺书本数比。原来5∶6=10∶12现在3∶4=9∶12则文艺书本数的份数12不变,得科技书原来有的本数。10÷(10-9)×10=100(本)例2、小军原有的钱数是小明的3/4,小军用去100元后,这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱?[思路点拔]:题中小军的钱数减少了,总钱数也减少了,但小明的钱数没有变,因此,我们可以把小明的钱数看作单位“1”。这时“小军用去100元后,这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后,这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”,再根据题中前两个条件可知,100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。因此小明的钱数是100÷1/3=300(元),小军原有钱数是300×3/4=400(元)例3、唐洋小学六(4)班男生人数占班级总人数的9/16,后来又转走了4名男生,这时男生人数占班级总人数的8/15,求六(4)班原来有学生多少名?[思路点拔]:从男生转走了4名看出,男生人数和班级总人数都发生了变化,但女生人数没有变。因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”,原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7;现在男生人数占总人数的8/15,女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名,分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名),六(4)班原有学生人数是28÷7/16=64(名)例4、有含糖率为7%的糖水600克,要使含糖率变为10%,需再加入多少克糖?[思路点拔]:糖水600克中有水:600*(1-7%)=558克,所以,现在糖水总量是:558/(1-10%)=620克那么要加糖:620-600=20克例5、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只,其中公鸡,后来又买回若干只公鸡后,母鸡占总只数的,问又买回多少只公鸡?[思路点拔]:首先,找准不变量:母鸡只数,可以直接计算出来,算出其只数80×(1-)=44只。然后,计算出来的公鸡44只代入变化后的关系中,找出其对应分率(1-=)。接着,算出变化后的总只数:44÷=100只。最后,对比变化前后总只数,得出结论:100-80=20只。二、两个量和不变例6、实验学校组织学生大扫除,六年级学生参加大扫除的人数是未参加的14,后来又有12名学生主动参加,现在参加大扫除的人数是未参加的13,那么六年级有学生多少人?2解法一:本题六年级学生的人数和不变。学生参加大扫除的原来的人数是六年级的14+1,现在的人数是六年级的13+1,得六年级学生人数。12÷(13+1-14+1)=12÷120=240(人)解法二:本题六年级学生的人数和不变。由参加大扫除的与未参加的人数比。原来1∶4=4∶16现在1∶3=5∶15则六年级学生人数和的份数4+16=5+15不变,得六年级学生人数。12÷(5-4)×(5+15)=240(人)例7、小丽有故事书108本,小芳有故事书140本,小芳借了若干本故事书给小丽后,小丽的故事书的本数是小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽?[思路点拔]:小芳借了若干本故事书给小丽前后,小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化,但两人拥有故事书的总本数不变,这是本题解题的关键。即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1)倍,因此小芳现有故事书的本数是(108+140)÷(3+1)=62本,所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78(本)。可以验证一下:(108+78)÷(140-78)=186÷62=3,答案正确。例8、有一个书架,上层与下层书的数量比是2:3,现从上层拿15本书给下层,这时上层与下层书的数量比是3:7,求原来上、下层各有多少本书?[思路点拔]:根据题意,上、下两层书的本数都发生了变化,而上下两层书的总数量是不变的,可把总数量看作单位“1”。抓住总数量不变,根据上层与下层书的数量比是2:3,知道上层书占总数的2/5;又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10,两人故事书的总本数是:15÷(2/5-3/10)=150(本),所以上层原有书150×2/5=60(本),下层原有书150-60=90(本)。例9、某校合唱队人数是舞蹈队人数的3/2,如果将合唱队队员调10人到舞蹈队,则合唱队人数变为舞蹈队人数的7/8,原合唱队有多少人?[思路点拔]:根据合唱队与舞蹈队的前后人数之比可知,合唱队原来占全体人数的3/(3+2),后来调出10人后,占全体人数的7/(7+8),则全体人数有:10÷[(3/(3+2)-7/(7+8)],求出全体人数后,就能根据原来占全体人数的比求出合唱队原来有多少人了.三、两个量差不变例10、五年级一班原来男、女生人数比是3∶5,后来男、女生各增加9人,现在男、女生人数比是3∶4。现在全班共有多少人?解法一:本题男、女生人数差不变。原来男生人数是男、女生人数差的35-3,现在男生人数是男、女生人数差的34-3,则男、女生人数差是9÷(34-3-35-3)人,得现在全班共有学生人数。9÷(34-3-35-3)×3+44-3=9÷1.5×7=42(人)解法二:本题男、女生人数差不变。由男、女生人数比。原来3∶5=3∶5现在3∶4=6∶8则男、女生人数的份数差5-3=8-6不变,得现在全班共有学生人数。9÷(6-3)×(6+8)=42(人)3例11、今年琪琪5岁,妈妈32岁,再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍?[思路点拔]:不论经过多少年,琪琪和妈妈的年龄差都是不变的。今年妈妈与琪琪的年龄差为32-5=27(岁),等于妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍时的年龄差,所以27岁对应的是那一年琪琪岁数的(4-1)倍。那一年琪琪的岁数是(32-5)÷(4-1)=9(岁),经过的年限是:9-5=4(年)。例12、用杯子往一个空瓶里倒水,如果倒进6杯水,连瓶共重680克,如果倒进9杯水,连瓶共重920克,求空瓶的重量。[思路点拔]:随着倒进的杯数不同,瓶里水的重量和总重量都在变化,但是不管倒进几杯水,每一杯水的重量都是不变的,所以,(920-680)克就正好是(9-6)杯水的重量。对应相除就能求出1杯水的重量,(920-680)÷(9-6)=80(克)从而就可以求出空瓶的重量。920-80×9=200(克)例13、有甲乙两个粮仓,原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3:5,从两个仓库都运走后50吨的粮食后,甲仓库的存粮是乙仓库存粮的5/9。问原来甲乙两个粮仓各存粮多少吨?[思路点拔]:根据题意,甲乙两个粮仓的存粮的吨数都发生了变化,而且它们的总存粮的吨数也发生了变化,但是我们可以发现,由于两个粮仓的存粮数都减少了50吨,所以现在两个粮仓存粮的吨数差不变。我们可以把吨数差作为单位“1”。“原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3:5”,可知甲仓库存粮的吨数占吨数差的3÷(5-3)=3/2,都运走后50吨后,甲仓库存粮的吨数占吨数差的5÷(9-5)=5/4。由此可以求出甲乙两个粮仓存粮的吨数差是50÷(3/2-5/4)=200(吨),甲仓库存粮的吨数是200×3/2=300(吨),乙仓库存粮的吨数是300+200=500(吨)四、用方程巧解分数应用题例14、.某车间女工人数是男工人数的3/4,后来调走男工24人,这时男工人数是女工人数的4/5。这个车间现有男工多少人?例15、育才小学六年级有甲乙两个班,甲班学生人数是乙班的5/7。如果从乙班调2人到甲班,甲班人数就是乙班的4/5。甲班原来有学生多少人?例16、甲商店原来的电视机台数是乙商店的2/3。两家商店分别卖了8台电视机后,甲商店的电视机台数是乙商店的3/5。甲乙两商店原来各有多少台电视机?[思路点拔]:11题中,单位“1”不统一,这样不好列方程。在这道题中,有一个“不变量”——这个车间的女工人数。所以,我把它看作单位“1”,将所有的量都转化为以它为单位“1”的形式,即把“女工人数是男工人数的3/4”转化为“男工人数是女工人数的4/3”,就简单多了。根据数量关系式“原来的男工人数-24=现在的男工人数”列出方程:解:设女工人数为x人,男工人数原有4/3x人,现有4/5x人。4/3x-24=4/5xx=454/3x=45×4/3=604/5x=4/5×60=36答:这个车间现有男工36人。[思路点拔]:12题中,“不变量”是两个班学生的总人数。无论两个班的学生怎么调换,总人数都不变。根据这个“不变量”,可以列出数量关系式“甲班原来的人数+乙班原来的人数=甲班现在的人数+乙班现在的人数”,并列出方程:解:设乙班原有x人,甲班原有5/7x人。x+5/7x=(x-2)+4/5(x-2)x=425/7x=5/7×42=30答:甲班原有学生30人。[思路点拔]:13题中,两家商店卖出的电视机台数是相等的,都是8台。所以,两家商店电视机台数的差始终相等。这个“台数差”和卖出的电视机台数就是“不变量”——解决问题的关键。我根据数量关系式“乙商店现在的电视机台数×3/5=甲商店现在的电视机台数”列出方程,很快就解决了问题:解:设乙商店原来有x台电视机,甲商店原来有2/3x台电视机。2/3x-8=3/5(x-8)2/3x-8=3/5x-24/54x=482/3x=2/3×48=32答:甲商店原来有32台电视机,乙商店原来有48台电视机。前后对比,问题得解量率对应,问题得解已知或能直接计算题目中的问题,计算出不变量,以不变量为单位“1”代入变化后数量关系中不变量,找出其变化后的对应分率,选中其中一个变量,求出变化后的一个变量,找出其变化前后各占“1”的分率,找出其变化前后的数量,算出分率差,算出数量差。