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课时作业(五十七)1．某单位有职工160人，其中业务人员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个样本容量为20的样本，记作①.从某中学高三年级的18名体育特长生中选出5人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法分别是()A．①用随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用随机抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①用分层抽样法，②有系统抽样法答案B解析当总体中的个体数较多而差异又不大时可采用系统抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样法；当总体中的个体数较少时，宜采用简单随机抽样法．依据题意，第①项调查应采用分层抽样法，第②项调查应采用简单随机抽样法．故选B.2．(2011·福建厦门质检)某连队身高符合建国60周年国庆阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁～19岁的士兵有15人，20岁～22岁的士兵有20人，23岁以上的士兵有10人，若该连队有9个参加阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为()A．5B．4C．3D．2答案D解析设该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为x，则945＝x10，解得x＝2，故选D.3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70D．80答案C解析由分层抽样方法得33＋4＋7×n＝15，解之得n＝70，故选C.4．某高中在校学生2000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每个人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：高一级高二级高三级跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取了一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取()A．36人B．60人C．24人D．30人答案A解析∵登山占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二级占32＋3＋5＝310.∴高二级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x200得x＝36，故选A.5．从2010名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为502010D．都相等，且为502000答案C6．(2010·湖北理)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9答案B解析依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令3003＋12(k－1)≤495得1034k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知，选B.7．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为()A．180B．400C．450D．2000答案C解析90x＝20100，∴x＝450.故选C.8．某初级中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1、2、…、270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1、2、…、270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的下列结论中，正确的是()A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样答案D解析对于系统抽样，应在1～27、28～54、55～81、82～108、109～135、136～162、163～189、190～216、217～243、244～270中各抽取1个号；对于分层抽样，应在1～108中抽取4个号，109～189中抽取3个号，190～270中抽取3个号．点评虽然三种抽样的方式、方法不同，但最终每个个体被抽取是等可能的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性．要根据不同的研究对象和不同的要求，采取不同的抽样方法．9．衡水中学为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每人都参加且只参加一门课程的选修．为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈．据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为()A．8B．10C．12D．16答案C解析根据题意可得，参加《数学史选讲》的学生人数为240人．抽取比例是30600＝120，故应该抽取240×120＝12人．10．(2011·上海文)课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．答案2解析由24个城市用分层抽样抽取6个城市，可知每一个城市被抽入样的概率均为P＝624＝14，则丙组中应抽取的城市数为8×14＝2.11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)月收入段应抽出________人．答案25解析由图可得月收入在[2500,3000)的频率为0.0005×500＝0.25，所以[2500,3000)月收入段应抽出100×0.25＝25(人)．12．(2011·山东文)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．答案16解析应在丙专业抽取的学生人数是400150＋150＋400＋300×40＝16.13．某校进行数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝________答案135解析∵个体容量样本容量＝各层个体容量各层样本容量，∴45m＝35＋3＋1，即m＝135.14．中央电视台在因特网上就观众对2012年春节晚会这一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如表所示：很喜爱喜爱一般不喜爱2435460039261039电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，其中持“喜爱”态度的观众应抽取多少人？答案23人解析由于样本容量与总体容量的比为6012000＝1200，∴应抽取“喜爱”态度的观众人数为4600×1200＝23(人)．15．衡水统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))．(1)求居民月收入在[3000,3500)的频率；(2)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？解析(1)月收入在[3000,3500)的频率为0.0003×(3500－3000)＝0.15.(2)居民月收入在[2500,3000)的频率为0.0005×(3000－2500)＝0.25，所以10000人中月收入在[2500,3000)的人数为0.25×10000＝2500(人)，再从10000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500,3000)的这段应抽取100×250010000＝25人．1．问题：①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100的样本；②从10名学生中抽出3个参加座谈会．方法一：Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法．问题与方法配对正确的是()A．①Ⅲ，②ⅠB．①Ⅰ，②ⅡC．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ答案A解析①因为社会购买力与家庭收入有关，因此要采用分层抽样法；②从10名学生中抽取3名，样本和总体都比较少，适合采用简单随机抽样法．2．(2009·广东)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号、6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．答案3720解析由系统抽样知识可知，将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔为k＝[Nn]．在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．由题意，第5组抽出的号码为22，因为2＋(5－1)×5＝22，则第1组抽出的号码应该为2，第8组抽出的号码应该为2＋(8－1)×5＝37.由分层抽样知识可知，40岁以下年龄段的职工占50%，按比例应抽取40×50%＝20(人)．3．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽到的概率为0.2，则该单位青年职员的人数为________．答案400解析总人数为2000.2＝1000，该单位青年职员的人数为1000×1025＝400.4．某单位最近组织了一次健身活动，参加活动的职工分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组中不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定(1)游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．思路(1)根据登山组和游泳组中青年人、中年人和老年人的人数之和的百分比分别等于参加活动的三类职工的比例列方程组解决；(2)先计算出游泳组的总人数，再根据游泳组中青年人、中年人和老年人的比例进行计算．解析(1)解法一：设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则有