高考调研数学11-10

课时作业(六十九)1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；(2)曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6)D．只有(1)(5)(6)答案A2．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝12πσe－x－μ22σ2，μ、σ(σ＞0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝122πe－x－σ4D．f(x)＝－12πex22答案B解析A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图像在x轴下方，所以选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案A解析利用正态分布图像的对称性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.4．(2010·广东理)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585答案B解析P(X4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.5．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，则P(550＜ξ＜600)等于()A．0.3B．0.6C．0.7D．0.4答案A6．设随机变量ξ～M(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξC)＝P，则P的值为()A．0B．1C.12D．不确定与σ无关答案C解析∵P(ξ≤C)＝P(ξC)＝P，∴C＝μ，且P＝12.7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.答案0.36解析由正态分布图像的对称性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.8.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ0)＝0.3，则P(ξ2)＝________.答案0.7解析由题意可知，正态分布的图像关于直线x＝1对称，所以P(ξ2)＝P(ξ0)＋P(0ξ1)＋P(1ξ2)，又P(0ξ1)＝P(1ξ2)＝0.2，所以P(ξ2)＝0.7.9．若随机变量ξ～N(0,1)，且ξ在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的大小关系为________．答案P1＝P2解析如图所示，由正态分布图像的对称性可得，两阴影部分面积相等，即在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率P1＝P2.10．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100解析∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)，又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P(ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．11．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－32服从参数为________的正态分布．答案(μ－32，σ2)解析∵ξ～N(μ，σ2)，∴Eξ＝μ，Dξ＝σ2.而η＝ξ－32也服从正态分布，即Eη＝E(ξ－32)＝12Eξ－32＝μ－32，Dη＝D(ξ－32)＝14Dξ＝σ24.∴Dη＝σ2服从(μ－32，σ2)的正态分布．12．设X～N(1,22)，试求(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；(3)P(X≥5)．解析∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，∴P(3＜X≤5)＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝12[1－P(－3＜X≤5)]＝12[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝12[1－0.954]＝0.023.13．如下图所示，是一个正态曲线，试根据图像写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．解析从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20.由12πσ＝12π，解得σ＝2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x)＝12πe－x－2024，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.14．某市有210名学生参加一次数学竞赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩列表如下：成绩(分)12345678910人数0006152112330(1)求样本的数学平均成绩及标准差；(2)若总体服从正态分布，求此正态曲线近似的密度函数．解析(1)平均成绩x＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，S2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，S＝1.22.即样本平均成绩为6分，标准差为1.22.(2)以x＝6，S＝1.22作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值，即μ＝6，σ＝1.22.正态曲线密度函数近似地满足y＝11.222πe－x－622×1.5.1．若随机变量ξ的密度函数为f(x)＝12πe－x22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的关系为()A．P1P2B．P1P2C．P1＝P2D．不确定答案C解析由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P1＝P2.2．正态总体N(0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为()A．0.46B．0.9974C．0.03D．0.0026答案D解析P(－2ξ≤2)＝P(0－3×23ξ≤0＋3×23)＝P(μ－3σξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为：1－0.9974＝0.0026.3．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图像如图所示，则()A．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3B．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3C．μ1＝μ2μ3，σ1σ2＝σ3D．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3答案D解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图像一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2σ3.4．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，求c的值．解析由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.5．(2012·沧州七校联考)2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．思路首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量解析由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．