高考调研数学3-2

课时作业(十四)1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案C解析∵y′＝3x2－3，∴由3x2－30得－1x1.故选C.2．(2012·沧州七校联考)若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－33，33)，则a的取值范围是()A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1答案A解析y′＝a(3x2－1)解3x2－1＜0得－33＜x＜33∴f(x)＝x3－x在(－33，33)上为减函数又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－33，33)．∴a＞03．函数f(x)＝lnx－ax(a0)的单调递增区间为()A．(0，1a)B．(1a，＋∞)C．(－∞，1a)D．(－∞，a)答案A解析由f′(x)＝1x－a0，得0x1a，∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．4．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．[－1,1]D．(1,2)答案C解析∵f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立．∵－1≤cosx≤1，①当a0时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0a≤1；②当a＝0时适合；③当a0时，a≤acosx≤－a，∴a≥－1，∴－1≤a0.综上，－1≤a≤1.5．已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)答案C解析根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)0得x－1或1x2.因此f(x)的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．6．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)g′(x)，则当axb时，有()A．f(x)g(x)B．f(x)g(x)C．f(x)＋g(a)g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)g(x)＋f(b)答案C解析∵f′(x)g′(x)，∴[f(x)－g(x)]′0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数．∴f(a)－g(a)f(x)－g(x)，即f(x)＋g(a)g(x)＋f(a)．7．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f(12)，c＝f(3)，则()A．abcB．cabC．cbaD．bca答案B解析由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)，又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，可知f′(x)0，即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)f(0)f(12)，即cab.8．(2012·山东师大附中)f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是()A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)f0eaD．f(a)f0ea答案B解析令g(x)＝fxex，∴g′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0，∴g(x)在R上为增函数，又∵a0.∴g(a)g(0)即faeaf0e0，即f(a)eaf(0)．9．函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调增区间为________．答案(π3，5π3)解析∵y′＝1－2cosx，∴由y′00x2π，即1－2cosx0，0x2π，得π3x5π3.∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．10．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调递增函数，则b的范围是________．答案b－1或b2解析假设y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上是单调递增函数，则f′(x)＝y′≥0恒成立．即x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，所以Δ＝4b2－4(b＋2)≤0成立，解得－1≤b≤2，故所求为b2或b－1.11．函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)1，则不等式f(x)－x0的解集为________答案(2，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1，由题意知g′(x)0，∴g(x)为增函数，∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)0的解集为(2，＋∞)．12．(2012·宁波十校联考)已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，f(－4)，f(4π3)，f(－5π4)的大小关系为______(用“”连接)．答案f(4π3)f(－4)f(－5π4)．解析f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈[5π4，4π3]时，sinx0，cosx0，∴f′(x)＝sinx＋xcosx0，则函数f(x)在x∈[5π4，4π3]时为减函数，∴f(4π3)f(4)f(5π4)，又函数f(x)为偶函数，∴f(4π3)f(－4)f(－5π4)．13．求函数f(x)＝x(ex－1)－x22的单调区间．答案在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．解析f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．14．(2011·天津文)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间．解析f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝t2.因为t≠0，以下分两种情况讨论：(1)若t0，则t2－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，t2)(t2，－t)(－t，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，t2)，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(t2，－t)．(2)若t0，则－tt2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－t)(－t，t2)(t2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，(t2，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－t，t2)．15．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析f′(x)＝ex－a.(1)若a≤0，f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即f(x)在R上递增．若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)．(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立，∴a≤(ex)min.又∵ex0，∴a≤0.(3)由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立，∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵ex在(－∞，0]上为增函数，∴x＝0时，ex最大为1，∴a≥1.同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上可知：a＝1即存在a＝1满足条件．1．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)答案D解析f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)·g(x)为奇函数，x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，即x＜0时，[f(x)·g(x)]′＞0.∴f(x)·g(x)为增函数，且f(－3)·g(－3)＝0.根据函数性质可知，f(x)·g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．2．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是()A．(2,4)B．(－3，－1)C．(1,3)D．(0,2)答案D解析由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1,3)时，f′(x)0.函数f(x)在(1,3)上为减函数，函数f(x＋1)的图像是由函数y＝f(x)图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y＝f(x＋1)的单调减区间．3．(2012·南京一调)设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)·cosx的部分图像可以为()答案A解析g(x)＝2x，∴y＝2x·cosx此函数为奇函数，排除B、D，当x∈(0，π2)时，y0，排除C选A.4．设函数f(x)＝a2x2－1＋cosx(a0)．(1)当a＝1时，证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求正数a的范围．答案(1)略(2)a≥1解析(1)证明：当a＝1时，f(x)＝12x2－1＋cosx，令g(x)＝f′(x)＝x－sinx，g′(x)＝1－cosx≥0，∀x∈(0，＋∞)恒成立．∴y＝g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴g(x)g(0)＝0.∴f′(x)0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)为增函数．(2)f(x)＝a2x2－1＋cosx，令h(x)＝f′(x)＝ax－sinx.∵y＝f(x)在(0，＋∞)上单增，∴ax－sinx0恒成立．当a≥1时，∀x∈(0，＋∞)，恒有ax≥xsinx，满足条件．当0a1时，h′(x)＝a－cosx，令h′(x)＝0得cosx＝a，在(0，π2)内存在x0，使得cosx0＝a.当x∈(0、x0)时，h′(x)0.∴h(x)h(0)，即f′(x)f′(0)＝0，与∀x∈(0，＋∞)，f′(x)0恒成立矛盾．∴a≥1.5．(2012·皖南八校)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)函数y＝f(x)的图像在x＝4处的切线的斜率为32，若函数g(x)＝13x3＋x2[f′(x)＋m2]在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围．解析(1)f′(x)＝a1－xx(x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，＋∞)；当a0时，f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)由f′(4)＝－3a4＝32，得a＝－2，则f(x)＝－2lnx＋2x－3，∴g(x)＝13x3＋(m2＋2)x2－2x，∴g′(x)＝x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g′(0)＝－20，∴g′10，g′30，∴m－3，m－193，故m的取值范围是(－193，－3)．1．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.由f(x)为增函数⇔f′(x)≥0在R上恒成立⇔Δ≤0⇔16－12m≤0⇔m≥43.故为充分必要条件