高考调研数学5-2

课时作业(二十六)1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)答案B2．▱ABCD中，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对称中心为O，则CO→等于()A．(－12，5)B．(－12，－5)C．(12，－5)D．(12，5)答案B解析CO→＝－12AC→＝－12(AD→＋AB→)＝－12(1,10)＝(－12，－5)．3．设a、b是不共线的两个非零向量，已知AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案D解析本题考查两向量共线的充要条件．BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，AB→＝2a＋pb，由A、B、D三点共线⇒AB→＝λBD→⇒2a＋pb＝2λa－λb⇒2λ＝2p＝－λ⇒p＝－1.4．(2012·厦门模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(1＋m,1－m)，若a∥b，则实数m的值为()A．3B．－3C．2D．－2答案B解析由题可知a＝λb，所以(1，－2)＝λ(1＋m,1－m)，可得1＋m1－m＝－12，解得m＝－3，故选B.5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)答案D解析由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，选D.6.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.2a－(1＋22)bB．－2a＋(1＋22)bC．－2a＋(1－22)bD.2a＋(1－22)b答案B解析根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝22，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(22，1＋22)，∴AB→＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD→＝(22－1,1＋22)，令AD→＝λAB→＋μAC→，则有－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得λ＝－2μ＝1＋22，∴AD→＝－2a＋(1＋22)b.7.已知c＝ma＋nb，设a，b，c有共同起点，a，b不共线，要使a，b，c，终点在一直线l上，则m，n满足()A．m＋n＝1B．m＋n＝0C．m－n＝1D．m＋n＝－1答案A解析∵AC→＝λAB→，∴c－a＝λ(b－a)，∴ma＋nb－a＝λb－λa，∴(m－1＋λ)a＋(n－λ)b＝0，∴m－1＋λ＝0n－λ＝0⇒m＋n＝1.8．(2012·深圳模拟)如图，A、B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①OA→＋2OB→；②12OA→＋13OB→；③34OA→＋13OB→；④34OA→＋15OB→；⑤34OA→－15OB→.这些向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是()A．①②B．①④C．①③D．⑤答案C解析由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③.9．已知n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为________．答案(b，－a)或(－b，a)解析设m的坐标为(x，y)，由|m|＝|n|，得x2＋y2＝a2＋b2①由m⊥n，得ax＋by＝0②解①②组成的方程组得x＝by＝－a或x＝－by＝a故m的坐标为(b，－a)或(－b，a)10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为________．答案(－2，－6)解析∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．∴4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)．又∵表示4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形．∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0.解得d＝(－2，－6)．11．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________.答案－12解析ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，则有2m－n4＝3m＋2n－1，∴n－2m＝12m＋8n，∴mn＝－1212.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2AB→＋3BC→＋AC→的坐标为________．答案(3,4)解析∵2AB→＝(2,0)．3BC→＝(0,3)，AC→＝(1,1)．∴2AB→＋3BC→＋AC→＝(3,4)．13．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→.(1)求E，F的坐标；(2)求证：EF→∥AB→.答案(1)E的坐标为(－13，23)，F的坐标为(73，0)(2)略解析(1)设E、F两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则依题意，得AC→＝(2,2)，BC→＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．∴AE→＝13AC→＝(23，23)，BF→＝13BC→＝(－23，1)．∴AE→＝(x1，y1)－(－1,0)＝(23，23)，BF→＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－23，1)．∴(x1，y1)＝(23，23)＋(－1,0)＝(－13，23)，(x2，y2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)．∴E的坐标为(－13，23)，F的坐标为(73，0)．(2)由(1)知(x1，y1)＝(－13，23)，(x2，y2)＝(73，0)，∴EF→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(83，－23)，又4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF→∥AB→.14．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m＝(a，b)，向量n＝(cosA，cosB)，向量p＝(22sinB＋C2，2sinA)，若m∥n，p2＝9，求证：△ABC为等边三角形．证明∵m∥n，∴acosB＝bcosA.由正弦定理，得sinAcosB＝sinBcosA，即sin(A－B)＝0.∵A、B为△ABC的内角，∴－πA－Bπ.∴A＝B.∵p2＝9，∴8sin2B＋C2＋4sin2A＝9.∴4[1－cos(B＋C)]＋4(1－cos2A)＝9.∴4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝12.又∵0Aπ，∴A＝π3.∴A＝B＝C.∴△ABC为等边三角形．1.如图所示，在矩形ABCD中，若BC→＝5e1，DC→＝3e2，则OC→等于()A.12(5e1＋3e2)B.12(5e1－3e2)C.12(3e2－5e1)D.12(5e2－3e1)答案A解析OC→＝12AC→＝12(AB→＋BC→)＝12(DC→＋BC→)＝12(5e1＋3e2)．2．(2012·西城区)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB→∥a，则实数y的值为()A．5B．6C．7D．8答案C解析因为AB→＝(3，y－1)，a＝(1,2)，AB→∥a，所以3×2－1×(y－1)＝0，y＝7，故选C.3．(2012·衡水调研卷)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA→＝a，OB→＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC→＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()答案A解析由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.4．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.解析如图所示，以点O为原点，OA→为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，则B(cos150°，sin150°)，C(3cos240°，3sin240°)，即B(－32，12)，C(－32，－332)，∴a＝(2,0)，b＝(－32，12)，c＝(－32，－332)．设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则(－32，－332)＝λ1(2,0)＋λ2(－32，12)＝(2λ1－32λ2，12λ2)，∴2λ1－32λ2＝－3212λ2＝－332，解得λ1＝－3λ2＝－33.∴c＝－3a－33b.1．a，b是不共线的向量，若AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0答案D解析只要AC→，AB→共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC→＝λAB→，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.2．已知向量a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)∥(a＋kb)，则实数k的值是()A．－17B.53C.1918D．－12答案D解析易知a＋kb为非零向量，故由题意得－2a＋b＝λ(a＋kb)，∴λ＝－2,1＝λk，∴k＝－12.3．如图所示，直线x＝2与双曲线C：x24－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记OE1→＝e1，OE2→＝e2.任取双曲线C上的点P，若OP→＝ae1＋be2(a、b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．答案4ab＝1解析E1(2,1)，E2(2，－1)．∴OP→＝a(2,1)＋b(2，－1)＝(2a＋2b，a－b)，∴P(2a＋2b，a－b)．代入双曲线方程得：4ab＝1.4．(2009·安徽改编)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．答案2解析以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B(－12，32)，设C(cosα，sinα)(α∈[0，2π3])，则有x＝cosα＋33sinα，y＝233sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值为2.5．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．答案x＋2y－5＝0解析设C的坐标为(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＝(3,1)，OB→＝(－1,3)．由OC→＝αOA→＋βOB→得OC→＝(3α－β，α＋3β)，即x＝3α－β，①y＝α＋3β.②由①＋②×2得x＋2y＝5(α＋β)，又因为α＋β＝1，所以x＋2y＝5.