高考调研数学9-4

课时作业(五十)1．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－22，22)B．(－2，2)C．(－24，24)D．(－18，18)答案C解析设l的方程y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k＋2k|k2＋11，∴－24k24.2．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案B解析圆心到直线的距离d＝|sinθ－2－sinθ|sin2θ＋cos2θ＝2.所以直线与圆相切．3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为()A.2－1B．2－2C.2D.2－1与2＋1答案A解析如下图，圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，故直线l0与l1的距离为2－1，∴平移的最短距离为2－1，故选A.4．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切答案C解析由两圆方程易知其圆心坐标分别为O1(a，b)、O2(a＋1，b＋2)，经计算得：O1O2＝5，由于R－r＝1O1O2＝5R＋r＝3，故两圆相交．5．(2012·潍坊质量抽测)直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)与圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交点的个数为()A．1B．2C．0或2D．1或2答案B解析圆(x－1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(1,3)，半径为3.由(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0，可得3mx－2my＋8m＋x＋3y－12＝0，化简得(3x－2y＋8)m＋x＋3y－12＝0，∵对于m∈R上式恒成立，∴3x－2y＋8＝0，x＋3y－12＝0解得x＝0，y＝4∴直线恒过点(0,4)．又该点到圆心的距离为12＋3－42＝1＋1＝23，∴直线与圆相交，有两个交点．故选B.6．(2012·衡水调研卷)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2答案C解析由题知，两切线间的距离即为圆C的直径，所以半径r＝12×|4|2＝2，又两切线分别与直线x＋y＝0的交点为切点，可得两切点分别为(0,0)，(2，－2)，故圆心为C(1，－1)，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.7．(2012·东城区)直线ax＋by＋a＋b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．相交或相切答案D解析圆x2＋y2＝2的圆心O(0,0)到直线ax＋by＋a＋b＝0的距离为d＝|a＋b|a2＋b2，圆的半径为r＝2.又∵(2·a2＋b2)2－(a＋b)2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，∴2·a2＋b2≥|a＋b|，∴|a＋b|a2＋b2≤2，即d≤r.∴相交或相切，故选D.8．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|(其中O为坐标原点)，则实数a等于________．答案±2解析由|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|知OA⊥OB，所以由题意可得|a|2＝2，所以a＝±2.9．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为________．答案x－2y＋3＝0解析设圆心为N(2,0)，由圆的性质得直线l⊥MN时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x－2y＋3＝0.10．(2011·大纲全国)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.答案8解析依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.11．(2012·广州调研)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为________．答案y＝－33x解析将圆的一般方程化为标准方程：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径r＝1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－33，切线方程为y＝－33x.12．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．解析∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1或过原点．①当k＝±1时，设切线方程为y＝－x＋b或y＝x＋c，分别代入圆C的方程得2x2－2(b－3)x＋(b2－4b＋3)＝0或2x2＋2(c－1)x＋(c2－4c＋3)＝0，由于相切，则方程有等根，即b＝3或b＝－1，c＝5或c＝1.故所求切线方程为：x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.②当切线过原点时，设方程为y＝kx即kx－y＝0，由|－k－2|k2＋1＝2得k＝2±6，∴此时切线方程为y＝(2±6)x.综上①②可得切线方程为x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0，(2±6)x－y＝0.13．(2011·全国新课标文)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．答案(1)(x－3)2＋(y－1)2＝9(2)a＝－1解析(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋t－12＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：x－y＋a＝0，x－32＋y－12＝9.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a20.因此x1＝8－2a＋56－16a－4a24，x2＝8－2a－56－16a－4a24，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①，②得a＝－1，满足Δ0，故a＝－1.14．(2012·海淀区)已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)若OP→·OQ→＝－2，求实数k的值；(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．答案(1)x2＋y2＝4(2)k＝0(3)7解(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为OP→·OQ→＝2×2×cos〈OP→，OQ→〉＝－2，且OP→与OQ→的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－12，∠POQ＝120°，所以圆心到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝1k2＋1，所以k＝0.(3)设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.因为直线l，l1都经过点(0,1)，且l⊥l1，根据勾股定理，有d21＋d2＝1.又易知|PQ|＝2×4－d2，|MN|＝2×4－d21，所以S＝12·|PQ|·|MN|，即S＝12×2×4－d2×2×4－d21＝216－4d21＋d2＋d21·d2＝212＋d21·d2≤212＋d21＋d222＝212＋14＝7，当且仅当d1＝d时，等号成立，所以S的最大值为7.1．(2012·南昌一模)函数f(x)＝(x－2010)(x＋2011)的图像与x轴、y轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是()A．(0,1)B．(0,20102009)C．(0,20112010)D．(0，12)答案A解析由题意得，函数f(x)的图像与两条坐标轴的交点分别是A(－2011,0)、B(2010,0)、C(0，－2010×2011)，设经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点坐标是D(0，y0)，其中y00，结合图形易知原点O位于经过点A，B，C的圆的内部，因此由相交弦定理得|OA|·|OB|＝|OC|·|OD|,2011×2010＝2011×2010y0，所以y0＝1，即经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点坐标是D(0,1)，选A.2．已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－433)∪(433，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)答案C解析解法一：(直接法)写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决．过A、B两点的直线方程为y＝a4x＋a2，即ax－4y＋2a＝0，则d＝|2a|a2＋16＝1，化简后，得3a2＝16，解得a＝±433.再进一步判断便可得到正确答案为C.解法二：设AB1直线方程为y＝kx＋2x2＋y2＝1⇒(1＋k2)x2＋4k2x＋4k2－1＝0，Δ＝0，k＝±33，直线AB1方程为y＝33(x＋2)，直线AB2方程为y＝－33(x＋2)，可得B1(2，433)，B2(2，－433)，要使从A看B不被圆挡住，B纵坐标即实数a的取值范围为(－∞，－433)∪(433，＋∞)．3．函数y＝f(x)的图像是圆心在原点的单位圆在Ⅰ、Ⅲ象限内的两段圆孤，如图，则不等式f(x)f(－x)＋2x的解集为()A．(－1，－22)∪(0，22)B．(－1，－22)∪(22，1)C．(－22，0)∪(0，22)D．(－22，0)∪(22，1)答案D4．(2011·江苏)设集合A＝{(x，y)|m2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．答案12≤m≤2＋2解析①若m0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而|2－2m－1|2≤|m|，解得2－22≤m≤2＋22，与m0矛盾；②若m＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m0，则当m2≤m2，即m≥12时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题意，从而有|2－2m|2≤|m|或|2－2m－1|2≤|m|，解得2－22≤m≤2＋2，由于122－22，所以12≤m≤2＋2.综上所述，m的取值范围是12≤m≤2＋2.1．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A．(－∞，14]B．(0，14]C．(－14，0)D．(－∞，14)答案A解析由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因为ab≤(a＋b2)2＝14，故选A.2．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至多有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的斜率的取值范围是()A．(－∞，2－3]B．[2＋3，＋∞)C．(－∞，