高考调研数学9-7

课时作业(五十三)1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．(22，0)B．(52，0)C．(62，0)D．(3，0)答案C解析将双曲线方程化为标准方程为：x2－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝62，故右焦点坐标为(62，0)．2．(2010·新课标全国)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52答案D解析设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，所以其渐近线方程为y＝±bax,因为点(4，－2)在渐近线上，所以ba＝12，根据c2＝a2＋b2，可得c2－a2a2＝14，解得e2＝54，e＝52，故选D.3．(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12答案D解析直线FB的斜率为－bc，与其垂直的渐近线的斜率为ba，所以有－b2ac＝－1即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝1＋52.4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A．aB．bC.abD.a2＋b2答案B解析圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0，所以r＝|bc|a2＋b2＝b.5．(2012·济南模拟)已知点F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1,1＋2)答案D解析依题意，0∠AF2F1π4，故0tan∠AF2F11，则b2a2c＝c2－a22ac1，即e－1e2，e2－2e－10，(e－1)22，所以1e1＋2，选D.6．已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为()A.52B.32C.355D.23答案B解析双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为xa±yb＝0，焦点A(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为bca2＋b2＝53c，则c2－a2＝59c2，得e2＝94，e＝32，故选B.7．(2011·北京文)已知双曲线x2－y2b2(b0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.答案2解析双曲线x2－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±bx，比较系数得b＝2.8．(2011·辽宁理)已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．答案2解析根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即4a2－9b2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝3，c＝2，所以，离心率e＝2.9．(2012·衡水调研卷)已知双曲线x2m－y2n＝1的一条渐近线方程为y＝43x，则该双曲线的离心率e为________．答案53或54解析设m0，n0，∴nm＝43，∴nm＝169.∴m＋nm＝259.∴e＝53.设m0，n0.则y2－n－x2－m＝1，∴nm＝43.∴nm＝169.∴mn＝916.∴m＋nn＝2516.∴e＝54.∴双曲线的离心率为53或54.10．双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为_______；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且PA→＝2AQ→，则直线l的斜率为_______．答案x±y＝0±3解析双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为x2－y2＝0，即y＝±x；双曲线C的右顶点A(1,0)，设l：x＝my＋1，联立方程，得x＝my＋1，x2－y2＝0，消去x得(m2－1)y2＋2my＋1＝0(*)，方程(*)的根为P、Q两点的纵坐标，设P(xP，yP)，∵PA→＝2AQ→，∴yP＝－2yQ.又yP＋yQ＝2m1－m2，yPyQ＝1m2－1解得m＝±13，直线l的斜率为1m，即为3或－3.11．已知双曲线的渐近线方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．解析法一：①当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ba＝43a2＋b2＝100，解得a＝6b＝8，∴双曲线的方程为x236－y264＝1.②当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ab＝43a2＋b2＝100，解得a＝8b＝6.∴双曲线的方程为y264－x236＝1.综上，双曲线的方程为x236－y264＝1和y264－x236＝1.法二：设双曲线的方程为42·x2－32·y2＝λ(λ≠0)，从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100，解得λ＝±576，∴双曲线的方程为x236－y264＝1和y264－x236＝1.12.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝π3，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ3＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.又∵S△PF1F2＝23，∴12|PF1|·|PF2|·sinπ3＝23.∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝ca＝2，∴a2＝23.∴所求双曲线方程为3x22－y22＝1.13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(33，63)．(1)求该双曲线方程；(2)过点F作直线l2交该双曲线于M，N两点，如果|MN|＝4，求直线l2的方程．解析(1)设F(c,0)，l1：y＝bax，PF：y＝－ab(x－c)．解方程组y＝baxy＝－abx－c，得P(a2c，abc)，又已知P(33，63)，故解得a＝1，b＝2，所以双曲线方程为x2－y22＝1.(2)若直线l2垂直于x轴，交双曲线于M，N.由(1)得右焦点为F(3，0)，将x＝3代入x2－y22＝1，得y＝±2，所以|MN|＝4，若直线l2不垂直于x轴，设MF：y＝k(x－3)，代入x2－y22＝1，得2x2－k2(x－3)2＝2，整理，得(2－k2)·x2＋23k2x－3k2－2＝0，所以x1＋x2＝23k2k2－2，若M，N两点均在双曲线的右支上，则k22；若M，N两点在双曲线的两支上，则k22.又若M，N两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4，故M，N两点只可能分别在双曲线的两支上，此时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MN|＝||NF|－|MF||＝3[(13－x2)－(x1－13)]，所以4＝2－3(x1＋x2)，即3·23k2k2－2＝－2，k＝±22，所以所求直线l2的方程为x＝3或y＝±22(x－3)．1．(2012·厦门质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线为l1、l2，过右焦点且垂直于x轴的直线与l1、l2所围成的三角形面积为()A.2a3＋2b3aB.2a2b＋2b3aC.a3＋b3aD.a2b＋b3a答案D解析由题意可知，过右焦点且垂直于x轴的直线与两渐近线的交点坐标分别为(c，bca)、(c，－bca)，所以三条直线围成的三角形面积S＝12·c·2bca＝bc2a＝a2b＋b3a，故选D.2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．答案－143．(2012·东城区质检)已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________；渐近线方程为________．答案52，12x±y＝0解析双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝±kx.又因为一条渐近线方程与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴k＝12，k＝14.∴双曲线的离心率为e＝1k＋11k＝52；渐近线方程为12x±y＝0.4．(2012·沧州七校联考)已知曲线x2a－y2b＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP→·OQ→＝0(O为原点)，则1a－1b的值为________．答案2解析设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由题意得x2a－y2b＝1，x＋y－1＝0，则(b－a)x2＋2ax－a－ab＝0.所以x1＋x2＝－2ab－a，x1x2＝－a－abb－a，y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2.根据OP→·OQ→＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即1－(x1＋x2)＋2x1x2＝0，因此1＋2ab－a＋2×－a－abb－a＝0，化简得b－aab＝2，即1a－1b＝2.5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F(2,0)，点P为双曲线上一点，PF→·A1A2→＝0，PA1→·PA2→＝43.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线上有两个不同点M，N，点E(0，－1)，当MN→＝λ(3,1)且|EM→|＝|EN→|时，求△MON的面积(O为原点)．答案(1)x23－y2＝1(2)5324解析(1)由PF→·A1A2→＝0得PF⊥A1A2，∴P(c，b2a)(不妨设P在x轴上方)，又A1(－a,0)，A2(a,0)，PA1→＝(－a－c，－b2a)，PA2→＝(a－c，－b2a)，∴PA1→·PA2→＝c2－a2＋b4a2＝b2(1＋b2a2)＝b2·c2a2＝43.又∵c2＝4，∴a2＝3b2a2＋b2＝4，∴a2＝3b2＝1，∴双曲线方程为x23－y2＝1.(2)由MN→＝λ(3,1)可知直线MN的斜率为k＝13，设直线MN：y＝13x＋m，与x2－3y2＝3联立整理得2x2－6mx－9m2－9＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3m，x1x2＝－9m2＋12.设MN的中点为G(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝3m2，y0＝13x0＋m＝3m2.由|EM→|＝|EN→|得MN⊥EG，∴kMN·kEG＝－1，∴13×32m＋13m2＝－1，∴m＝－16，此时x1＋x2＝－12，x1x2＝－378，∴|MN|＝1＋k2MN[x1＋x22－4x1x2]＝1＋19[－122－4×－378]＝5630，又点O到直线MN的距离为d＝|2×0－6×0－1|22＋－62＝1210，∴S△MON＝12×d×|MN|＝12×1210×5630＝5324.1．双曲线x225－y29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A．22或2B．7C．22D．2答案A解析由对称性，不妨设点在右支上，①若12为到右焦点的距离，则所求为12＋2a＝22；②若12为到左焦点的距离，则所求为12－2a＝2，故本题答案为A.2．(2012·山东聊城)已知二次曲线x24＋y2m＝1，则当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e的取值范围是()A．[22，32]B．[22，62]C．[52，62]D．[32