高考调研高考总复习二轮专题作业1-1

专题集训·作业(一)1．设集合A＝{x|x24＋3y24＝1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()A．[－2,2]B．[0,2]C．[0，＋∞)D．{(－1,1)，(1,1)}答案B解析A＝{x|x24＋3y24＝1}＝{x|x24≤1}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∴A∩B＝[0,2]，选B.2．设不等式2x－1m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围是()A．(0，34)B．(2，＋∞)C．(34，＋∞)D．(－∞，2)答案C解析原不等式即(x－1)m－(2x－1)0，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数f(m)的值在区间[－2,2]内恒为负值应满足的条件，得f20，f－20，即2x－1－2x－10，－2x－1－2x－10，解得x34.3．方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为()A．1B．0C．－1D．－2答案A解析由原式得m＝x－1－x，设1－x＝t(t≥0)，则m＝1－t2－t＝54－(t＋12)2，∴m＝54－(t＋12)2在[0，＋∞)上是减函数．∴t＝0时，m有最大值为1.4．(2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1答案D解析设出椭圆上点的坐标，利用中点弦的点差法求解斜率．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1.②①－②得x1＋x2x1－x2a2＝－y1－y2y1＋y2b2，∴y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝b2a2.而kAB＝0－－13－1＝12，∴b2a2＝12，∴a2＝2b2.∴c2＝a2－b2＝9，∴b＝c＝3，a＝32.∴E的方程为x218＋y29＝1.5．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝lnan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于()A．126B．130C．132D．134答案C解析∵{an}是各项不为0的正项等比数列，∴bn＝lnan是等差数列．又∵b3＝18，b6＝12，∴d＝－2，b1＝22.∴Sn＝22n＋nn－12×(－2)＝－n2＋23n.∴(Sn)max＝S11＝S12＝－112＋23×11＝132.6．已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为()A．23B．2C．22D．4答案A解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝13a2h＝323，故a2h＝32，即a2＝32h.则其侧棱长为l＝2a22＋h2＝16h＋h2.令f(h)＝16h＋h2，则f′(h)＝－16h2＋2h＝2h3－16h2，令f′(h)＝0，解得h＝2.显然当h∈(0,2)时，f′(h)0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)0，f(h)单调递增．所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝162＋22＝12，故其侧棱长的最小值l＝12＝23.7．(2013·天津文)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)0f(b)B．f(b)0g(a)C．0g(b)f(a)D．f(b)g(a)0答案A解析首先确定a，b的范围，再根据函数的单调性求解．∵f′(x)＝ex＋10，∴f(x)是增函数．∵g(x)的定义域是(0，＋∞)，∴g′(x)＝1x＋2x0.∴g(x)是(0，＋∞)上的增函数．∵f(0)＝－10，f(1)＝e－10，∴0a1.∵g(1)＝－20，g(2)＝ln2＋10，∴1b2，∴f(b)0，g(a)0.8．方程x2－32x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是()A．m≤－916B．－916m52C．m≥52D．－916≤m≤52答案D解析m＝x2－32x＝(x－34)2－916，x∈[－1,1]．当x＝－1时，m最大为52，当x＝34时，m最小为－916，∴－916≤m≤52.9．设函数f(x)＝x3＋sinx，若0≤θ≤π2时，f(mcosθ)＋f(1－m)0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(－∞，12)答案C解析易知f(x)为奇函数且为增函数，f(mcosθ)＋f(1－m)0，即f(mcosθ)f(m－1)，∴mcosθm－1.而0≤θ≤π2时，cosθ∈[0,1]．(1－cosθ)m1.①当cosθ＝1时，m∈R.②当cosθ≠1时，m11－cosθ，∵0≤cosθ1，∴11－cosθ≥1.由①②可得m1.10．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的下、上顶点分别为B1、B2，若点P为椭圆上的一点，且直线PB1、PB2的斜率分别为14和－1，则椭圆的离心率为________．答案32解析由题意，知B1P：y＝14x－b，B2P：y＝－x＋b，求得交点P8b5，－3b5，代入椭圆方程整理，得64b225a2＋925＝1，解得a＝2b，∴e＝1－ba2＝34＝32.11．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2S3＝a4－1,2S2＝a3－1，则公比q＝________.答案3思路本题主要考查了等比数列的通项公式、前n项和公式以及性质等基础知识，考查了方程思想与计算能力．解析设数列{an}的公比为q，因为2S3＝a4－1,2S2＝a3－1，所以2a11＋q＋q2＝a1q3－1，2a11＋q＝a1q2－1，解得q＝0(舍)或q＝3.12．(2013·安徽)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析利用向量的数量积结合一元二次方程根与系数的关系求解．设C(x，x2)，由题意可取A(－a，a)，B(a，a)，则CA→＝(－a－x，a－x2)，CB→＝(a－x，a－x2)．由于∠ACB＝π2，所以CA→·CB→＝(－a－x)(a－x)＋(a－x2)2＝0，整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.所以－1－2a≥0，a2－a≥0，1－2a2－4a2－a0，解得a≥1.13．若数列{an}的通项公式为an＝83×(18)n－3×(14)n＋(12)n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________.答案2解析设(12)n＝t，则an＝83t3－3t2＋t，且t∈(0，12]．令f(t)＝83t3－3t2＋t，则f′(t)＝8t2－6t＋1.令f′(t)＝0，得t1＝14，t2＝12，由导数知识可知t＝14时，函数f(t)在区间(0，12]上取得最大值，即an有最大值．再由(12)n＝14，得n＝2，即m＝2.14.(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．答案20解析设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．15．(2013·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.答案94解析曲线C2是圆心为(0，－4)，半径为r＝2的圆，圆心到直线l：y＝x的距离d1＝|0＋4|2＝22，所以曲线C2到直线l的距离为d1－r＝2.设曲线C1上的点(x0，y0)到直线l：y＝x的距离最短为d，则过(x0，y0)的切线平行于直线y＝x.已知函数y＝x2＋a，则y′|x＝x0＝2x0＝1，即x0＝12，y0＝14＋a，点(x0，y0)到直线l：y＝x的距离d＝|12－14＋a|2＝|14－a|2.由题意知|14－a|2＝2，所以a＝－74或a＝94.当a＝－74时，直线l与曲线C1相交，不合题意，故舍去．16．设a，b∈Z，函数f(x)＝log2(4－|x|)的定义域为[a，b]，值域是[0,2]，若关于x的方程(12)|x|＋a＋1＝0有唯一的实数解，则ba＝________.答案－32解析本题主要考查函数的定义域、值域，x的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3，又(12)|x|＝－(a＋1)0，所以a－1，当a＝－2时，方程(12)|x|＋a＋1＝0有唯一实数解0，故a只能等于－2，又f(x)的定义域为[a，b]，值域是[0,2]，故b＝3，所以ba＝－32.17．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，求ab的值．答案32解析设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则ax21＋by21＝1，ax22＋by22＝1，两式相减得a(x1－x2)·(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0.又x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以2ax0＋2by0·y1－y2x1－x2＝0，即ax0－by0＝0，故ab＝y0x0＝32.18．(2013·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．思路(1)由已知条件建立关于a，b的方程组，求得a，b的值，得到椭圆方程；(2)设出直线方程，利用根与系数的关系，结合平面向量的数量积的坐标运算建立关于斜率k的方程进行求解．解析(1)设F(－c,0)，由ca＝33，知a＝3c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有－c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±6b3.于是26b3＝433，解得b＝2.又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组y＝kx＋1，x23＋y22＝1消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC→·DB→＋AD→·CB→＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)·(3－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋2k2＋122＋3k2.由已知得6＋2k2＋122＋3k2＝8，解得k＝±2.