正弦量的相量表示法

相量表示法•用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。在复数平面建立直角坐标系OX为实轴、OY为虚轴。设在复平面上一复数A(a,b).在直角坐标系上可表示为.jyx0AabA=a+jb用极坐标系则表示为.A=r/变换关系为：22barabarctg或：cosrasinrb代入后，可得jyx0AabA=r(cos+jsin)考虑欧拉公式：2jjeecosjeejj2sin可改写为：A=rej也可简记为：A=r•由此可得到复数的三种表示法，即直角坐标式、指数式及极坐标式，三者可以互换。•其中直角坐标式便于进行加减运算、指数式及极坐标式便于进行乘除运算。现令有向线段OA绕原点O以角速度ω作逆时针旋转，可得A点在纵轴上的投影坐标为y=|OA|sin(t+)jyx0A比较正弦电压u=Umsin(t+)yA点的轨迹在复平面上的位置用复数可表示为：A=r[cos(t+)+jsin(t+)]=rej(t+)=r/t+可改写为A=rejejt其中A=rej相当于初始值。与前面讨论的复数表示法一致。通过上面讨论可知复数量jyx0Aψ动点A(复数)坐标的为A(t)=rcos(t+)+jrsin(t+)=rej(t+)=r/t+u=Umsin(t+)正弦量至此，定义用复平面上的静止量(复数)表示正弦量，记为jmmeUUjUeU或(幅值电压相量)(有效值电压相量)A=r(cos+jsin)A=rej※幅值相量与瞬时值之间的关系•旋转相量：A=rcos(t+)+jrsin(t+)=rej(t+)=rt+•相量(复数)：A=r(cos+jsin)=rej•交流电瞬时值：u=Umsin(t+)•将相量(rej)乘上一个时间因子(ejt)，得到复数圆的轨迹，对其取虚部的结果就是正弦量的瞬时值。※虚单位j的数学意义和物理意义•j=ej90°•j×j=j2=ej90°×ej90°=ej180°=–1oxjyj1jj2–1–jj3j41•同理jj314j及由此，可认为虚单位j是复平面上角度为90°的旋转因子。乘以j是向正方向旋转90°；除以j是向负方向旋转90°。即例题3-3试写出表示uA=2202sin314tV,的相量，并画出相量图。解分别用有效值相量uB=2202sin(314t–120º)V,uC=2202sin(314t+120º)V,AUBUCU表示uA、uB和uC则VUA2200/220VjUB)2321(220120/220VjUC)2321(220120/220它们的相量图为：(右图)120120AUBUCU例3-4•对如图电路，设AttIim)45sin(100)sin(111AttIim)30sin(60)sin(222试求总电流i。解ii1i2本题可用几种方法求解计算。1.用三角函数式求解tIItIIttIttItItIiiimmmmmmmmcos)sinsin(sin)coscos()2sincoscos(sin)sincoscos(sin)sin()sin(2211221122111221121两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设此正弦量为ii1i2tItItIimmmcossinsincos)sin(则22112211sinsinsincoscoscosmmmmmmIIIIII因此，总电流i的幅值为212221122211)sinsin()coscos(mmmmmIIIII总电流i的初相位为)coscossinsin(22112211mmmmIIIIarctg212221122211)sinsin()coscos(mmmmmIIIII)coscossinsin(22112211mmmmIIIIarctg由此，代入数据Im1=100A,Im2=60A,1=45,2=–30则AIm1297.407.122)307.70()527.70(22220218)527.70307.70(arctgAti)0218sin(129故得2.用正弦波求解100sin(t+45)60sin(t–30)129sin(t–18.3)0it2.用相量图求解30°45°18.3°