二次函数讲义-详细

第一讲二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y=（m＋2）x22m＋2x－1是二次函数，则m=．例2、下列函数中是二次函数的有（）①y=x＋x1；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=21x＋x．A．1个B．2个C．3个D．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．例4、如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．训练题:1、已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．2、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。3、已知函数y=(m－1)x2m+1+5x－3是二次函数，求m的值。4、已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．5、请你分别给a，b，c一个值，让cbxaxy2为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（）A．y=3x2＋4B．y=－31x2C．y=52xD．y=（x＋1）（x－2）7．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）A．m、n为常数，且m≠0B．m、n为常数，且m≠nC．m、n为常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．9．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．（1）AE用含y的代数式表示为：AE=；（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．第二讲二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax2(a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．（2）二次函数cbxaxy2的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。3、图象的平移：左加右减，上加下减例1、抛物线y=－2x2＋6x－1y=2x2＋6x－1对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值例2、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=21x2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax2与直线y=21x＋3交于点（2，m）．例4、抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是．例7、已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．例5、二次函数y=a(x－h)2的图象如图：已知a=12，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。例6、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移2个单位；（2）左移23个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。例7、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。训练题:1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．2．当m=时，y=（m－1）xmm2－3m是关于x的二次函数．3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．4．当m=时，抛物线y=（m＋1）xmm2＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而．5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）A．y=21x2B．y=－21x2C．y=－2x2D．y=－x28．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）A．y=41x2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定9．对于抛物线y=31x2和y=－31x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线关于y轴对称D．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）A．4B．2C．21D．4112.已知二次函数y=41x2－25x＋6，当x=时，y最小=；当x时，y随x的增大而减小．13．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．14．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。15．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.16．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.17.二次函数y=3x2－6x+5，当x1时，y随x的增大而；当x1时，y随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。18.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝，b＝，c＝.20.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为_.21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．22、函数y=ax2(a≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b）（1)求a和b的值（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。23、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？24、某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。(1)求Y与X之间的函数关系式；(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？第三讲函数的图象特征与a、b、c的关系知识点：a看开口方向，c看与y轴的交点位置，b结合a、看对称轴的位置。例1、已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图所示，有下列四个结论：20040bcbac①②③④0abc，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例2、已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤训练题1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（）A.a0,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,c=0D.a0,b0,c02.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b+c0B．b-2aC．a-b+c0D．c03.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：①c0；②a+b+c0③a-b+c0④b2-4ac0⑤abc0；其中正确的为（）A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤4.当b0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的()111Oxy1xAyO1xByO1xCyO1xDyO6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c四个代数式中，值为正数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个7.二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）8、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=xb的图象大致是图中的（）9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0;④当y＝－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．411.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12、二次函数)0(2acbxaxy的图象如图，下列判断错误的是（）A．0aB．0bC．0cD．042acb13、二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（）A．a＜0B．c＞0C．acb42＞0D．cba＞0第13题图yxO1－1第四讲二次函数的交点问题知识点：二次函数与x轴、y轴的交点的求法：分别令y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式，解方程.例1、已知抛物线y＝x2-2