相似三角形的应用

第1页（共7页）相似三角形的应用一．选择题（共8小题）1．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．1.5米B．2.3米C．3.2米D．7.8米2．如图，小明在A时测得某树的影长为1m，B时又测得该树的影长为4米，若两次日照的光线互相垂直，树的高度为（）A．2mB．mC．mD．m3．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张4．如图，在△ABO中，两个顶点A、B的坐标分别为A（6，6），B（8，2），线段CD是以O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段，则端点D的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）5．如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：1，则点C′的坐标为（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（1，0）6．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（）D．（1，﹣1）7．如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4第2页（共7页）8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2=AD•ABB．CD2=CA•CBC．CD2=AD•DBD．BC2=BD•BA二．填空题（共7小题）9．如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是米．10．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端C、A与O点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆AB的高为m．11．在某时刻的阳光照耀下，身高160cm的阿美的影长为80cm，她身旁的旗杆影长5m，则旗杆高为______________m．12．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．13．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为．14．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=．三．解答题（共7小题）15．如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB=AC=120cm，BC=80cm，AD=30cm，∠DAC=90°．求点D到地面的高度是多少？第3页（共7页）16．如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连接DE．若小吴测得DE的长为400米，根据以上信息，请你求出AB的长．17．如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标；（2）正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．18．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B点的坐标为：B（﹣1，﹣1）．（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4请在下面网格内画出△A2B2C2．19．在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点，连接CE，BF，CE与BF交于点M，且CE⊥BF，连接EF．（1）如图1，当∠FEC=45°，EF=2时，①填空：BC=；BF=．②求证：AB=AC；（2）如图2，当∠FEC=30°，BC=8时，求CE和AB的长度；（3）如图3，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AC，BF，AC与BF交于点M，且BF⊥AC，连接AE，EF，AE与BF交于点G，EF与AC交于点H，求的值．第4页（共7页）20．如图1，△ABC的两条中线AD、BE相交于点O（1）求证：DO：AO=1：2；（2）连接CO并延长交AB于F，求证：CF也是△ABC的中线；（3）在（2）中，若∠A=90°，其它条件不变，连接DF交BE于K（如图2），连接ED，且△EDK∽△CAB，求AC：AB的值．21．如图，在▱ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设==x．（1）当x=1时，求AG：AB的值；（2）设=y，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当DH=3HC时，求x的值．第5页（共7页）相似三角形的应用参考答案一．选择题（共8小题）1．C．2．A．3．B．4．D．5．D．6．D．7．D．8．B．二．填空题（共7小题）9．24．10．9．11．10．12.解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴AB：DE=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．13．解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），∴OC=AB=4，OA=2，∴点C的坐标为：（0，4），∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（﹣1，2），∴位似比为：2，∴OP：AP=OD：AB=1：2，设OP=x，则，解得：x=2，∴OP=2，即点P的坐标为：（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．14．解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴CD2=BD•AD=36，∴CD=6．故答案为：6．三．解答题（共7小题）15．解：过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF=FC=BC=40cm．根据勾股定理，得AF===80（cm），∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90°，∴∠DAH+∠FAC=90°，∠C+∠FAC=90°，∴∠DAH=∠C，∴△DAH∽△ACF，∴=，∴=，∴AH=10cm，∴HF=（10+80）cm．答：D到地面的高度为（10+80）cm．16．解：∵CD=AC，CE=BC，∴==，∵∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△DEC，∴==，∴AB=800，答：AB的长为800m．17．解：（1）如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为：（0，0）；（2）∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0），∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则A3O=A3C3=4，∴可得：OA4=A4C4=8，则OA5=16，故A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．18．解：（1）如图：B（5，5）（4分）；（2）如图所示：（8分）19．解：（1）①∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，BC=2EF=4，∵∠FEC=45°，∴∠BCM=45°，∵CE⊥BF，∴△BCM与△EFM是等腰直角三角形，∴BM=BC=4，FM=EF=2，∴BF=BM+MF=6；故答案为：4，6；②∵BM=CM，EM=FM，∴∠MCB=∠MBC，BF=CE，在△BCE与△CBF中，，∴△BCE≌△CBF，∴BE=CF，∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴AB=AC；第6页（共7页）（2）∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，EF=BC=4，∵∠FEC=30°，∴∠BCM=30°，∵CE⊥BF，∴∠BMC=∠EMF=90°，∴CM=BC=4，EM=EF=2，∴BE==2，∴AB=2BE=4；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴AF=BE，AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AG=GE，∵AD∥BC，∴∠FAH=∠ECH，在△AFH与△CEH中，，∴△AFH≌△CEH，∴EH=FH，∴GH∥AF，GH=AF，∴△GMH∽△AMF，∴=．20．（1）证明：连接ED，∵E、D分别为AC、BC的中点，∴ED∥AB，且ED=AB，∴△EDO∽△BAO，∴DO：AO=ED：AB=1：2；（2）证明：设CF交ED于点G，由△DGO∽△AFO，得到DG：AF=DO：AO=1：2，由DG∥AB得DG：BF=CD：CB=1：2，∴DG：AF=DG：BF，∴AF=BF，∴AF也是△ABC的中线；（3）解：由∠A=90°，得到四边形AFDE是矩形，∴△EDK∽△BAE，∵△EDK∽△CAB，∴△BAE∽△CAB，∴AE：AB=AB：AC，∵AE=AC，∴AC：AB=．21．解：（1）在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠BEF=∠GAF，∠EBF=∠AGF，∴△BEF∽△GAF，∴=，∵x=1，即==1，∴==1，∴AD=AB，AG=BE，∵E为BC的中点，∴BE=BC，∴AG=AB，则AG：AB=；（2）∵==x，∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=x，∵AD∥BC，∴==x，∴AG=，DG=x﹣，∵GH∥AE，∴∠DGH=∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠DGH=∠AEB，在▱ABCD中，∠D=∠ABE，∴△GDH∽△EBA，∴=（）2，∴y=（）2=（x＞）；（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示：∵DH=3HC，∴=，∴=，∵△GDH∽△EBA，∴==，即=，解得：x=；②当H在DC的延长线上时，如图2所示：第7页（共7页）∵DH=3HC，∴=，∴=，∵△GDH∽△EBA，∴==，即=，解得：x=2，综上所述，可知x的值为或2．