高观点下的思考

1高等数学观点下的中学数学在高等师范院校数学系，开设了门类众多的高等数学课程，例如，数学分析、高等代数、几何（空间解析几何、高等几何）、近世代数、复变函数、实变函数、概率统计、拓扑学、常微分方程、偏微分方程、计算方法等等。这一方面是使将要走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的数学基础（承担中学数学教学、研究任务及继续学习现代数学知识，并提高自身数学修养），另一方面是使毕业生能利用在高师院校学到的高等数学知识，指导其中学数学的教学和研究工作，也即使他能“居高等数学之高”去临“中学数学之下”。实际的情况又是如何呢？据调查，大多在中学数学教学岗位工作的师范院校毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的高等数学知识几乎没有发挥作用；还有的甚至说：在中学任教多年，将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及到的并不多，但其原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的。这无疑是高等师范院校数学教育的“悲哀”。形成上述状况的原因是多种多样的。第一、由于受“应试教育”的影响，对数学教育的价值“实际需要，文化修养，智力筛选”的前二者已经无暇顾及，只是将数学当作“筛子”用了。由于对数学教育价值的不正确理解，因而许多学生都将“取得好的数学成绩，博得家长和老师欢喜”作为学习数学的重要目的。我们常可见到的现象是，学生身陷数学的套题、技巧之中，奔命于作业、考试之间，教师更是疲于应付，只能将教学研究、科学研究放在次要位置，也就更谈不上与所学习过的高等数学知识建立联系。第二、在我国高等师范院校中，无论是文、史、地，还是理、化、生等各专业，所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深、拓广，螺旋式上升，而数学系的课程设置则是个例外，除了微积分，大学数学课程所开设的高等数学，与中学数学的研究对象、研究方法都有较大的不同，中学数学到大学数学，其知识是直线式上升，而非螺旋式上升。在高师院校数学系的大部分教材中，几乎看不到与中学数学的直接联系，学生难以获得应用高等数学的观点指导中学数学的真实体验。第三、高师院校的教学也存在着一些不足。张奠宙教授曾指出：我们在高师院校执教多年，深感居高未必能自然地临下。在大学课程中，只管讲学科知识本身，联系中学实际的任务往往视为累赘，忽略不讲，举个例子，讲实变函数论，大谈勒贝格测度、勒贝格积分，却不屑于谈谈测度与面积、体积之间的内在联系。对于中学教师来说，也许后者是至关重2要的。对此，我们也有同感。再看一个具体例子，在大学《近世代数》课程中学习“欧氏环”这一内容，它是解释中学代数中“多项式因式分解”有关问题的理论基础，但并不是每个学习过这一内容的人都能用它准确地解释如下问题：是不是每个多项式都能进行因式分解？因式分解需要分解到什么程度？因式分解的结果是否唯一？难怪教育部副部长王湛同志指出：师范教育的教学与基础教育改革存在着脱节现象。我们知道，中学数学教材的叙述，较多地采用了描述性的方法，理论上的要求不可能十分严谨，内容的深度与广度都有一定的局限性。根据中学数学的教学目的和中学生的年龄特征，这样的处理方法应该说是合理的；但是作为一名中学数学教师，仅仅具备中学教材所涉及的知识（在新课程标谁下的必修课内容），那是远远不够的。即便是在现行教材中的数学知识范围内，有些问题如果不在高等数学的知识背景下来解释，仍将含糊不清，甚至疑问重重。下面通过几个例子来说明。一、从几个例子说起在中学数学中有许多用中学数学不能准确解释的问题，它们都需要利用高等数学的思想、观点和方法来解释。例1关于多项式的因式分解。因式分解的概念想必大家都很熟悉，即，称把一个多项式表示为若干个因式乘积的形式为因式分解。但有一些问题利用概念却无法解释，如，1）是否每个多项式都能进行因式分解？2）因式分解进行到什么程度才能结束？3）因式分解的结果是否唯一？4）多项式的因式分解与整数的素因数分解有何联系？例2以下哪个表示的是函数的符号：fyxfxfy,),(),(？函数概念的发展经历了一个漫长的过程。在现行教材中，分别在初中、高中、大学都介绍了函数，细心的老师可以发现定义是有一些不同（主要是初中与高中或大学有差别）。定义1（初中）在某一变化过程中，有两个变量yx和，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某种对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数，y称为因变量。定义2（高中或大学）设BA和是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A3到集合B的函数。定义3（高中或大学）从集合A到集合B的映射BAf:，称为从集合A到集合B的函数。简称为函数f。定义4（大学）从集合A到集合B的函数f是满足以下条件的从A到B的一个关系：1）AfD)(；2）如果fzxfyx),(,),(，那么zy。例3古代几何三大问题（尺规作图问题）：1）三等分任意角；2）化圆为方；3）立方倍积；在原来初中教材中还曾有过的一个尺规作图问题：圆内接正七边形是尺规作图不能的。我们的问题是：这里的尺和规有什么限制？为什么有那样的限制？这样的尺和规有什么功能？例4几个具体的数学问题：1）求实数yx,的值，使得222)62()3()1(),(yxyxyyxF达到最小值。2）已知ABC中，D是BC边上的中点，G是AD上的任意一点，连BG并延长交AC于E，连CG并延长交AB于F，求证：FE∥BC。3）已知zyx,,为实数，且1zyx，试证31222zyx。二、从欧氏环理论看多项式的因式分解什么是欧氏环？其实大家所熟知的整数环、多项式环等都是欧氏环。我们先对整数环做一分析。整数环),,(Z中的两个运算分别具有以下运算规律，即加法：1P：交换律；2P：结合律；3P：有零元；4P：每个元有负元。乘法：5P：交换律；6P：结合律；7P：有单位元；8P：消去律。9P：乘法对加法具有分配律。10P：存在映射}0{:ZZ，且满足条件：1）0)(a当且仅当0a；2）Zba,，)()()(baab；43）给定Zba,，0b，则存在Zrq,，使得rbqa，且)()(br。如，可定义映射||)(aa等，应该说这种映射有无穷多个。定义1设M是带有“加法”、“乘法”运算的集合，若满足上述的101PP，则称M是欧氏环（映射}0{:ZM）。可以证明，多项式环)]([xfF是欧氏环。只需定义映射}0{][:ZxF为：0)(20)(0))(())(deg(xfxfxfxf当，当，，其中，))(deg(xf表示多项式)(xf的次数。显然，这样的映射也有无穷多个。定义2欧氏环M中的元素u称为M的单位，如果存在Mv，使得1uv。定义3设ba,是欧氏环M的元素，若存在Mc，使得bca，则说b是a的一个因子，用ab|表示。若ab|，且ba|，则说b与a相伴，记为ab~。若ab|，但b与a不相伴，且b不是单位，则说b是a的一个真因子。定义4设p是欧氏环M的元素，p是非零元且不是单位，若p可唯一地表示为),)((Mbabaab或，则a是单位或b是单位，就说p是M的一个不可约元。否则称为可约元。定义5设ba,是欧氏环M的元素，Md且满足1）ad|，bd|；2）Mc，若ac|，且bc|，则dc|，那么d叫做a和b的一个最大公因子。引理1欧氏环M的元素u是单位的充要条件是1)(u。定理1在欧氏环M中，每个非零元a都可以分解成nppupa21，其中，u是单位，nppp,,,21都是M的不可约元。引理2设ba,是欧氏环M的两个元素，则它们必有最大公因子d，且存在Mts,，使得tbsad。引理3设p是欧氏环M的不可约元，Mcb,，若bcp|，则bp|或cp|。推论设p是欧氏环M的不可约元，Mbbbn,,,21，若nbbbp21|，则p必是nbbb,,,21中某个),,2,1(nibi的因子。5定理2设a是欧氏环M的非零元，并且若mnqqvqppupa2121其中vu,是M的单位，jiqp,是M的不可约元，那么nm，且将jiqp,的标号重排后，可以是ip与iq相伴。利用上述理论便可回答例1中提出的几个问题。三、仿射变换在初等几何证明中的作用例4中的2）能否将一般的三角形转化为正三角形呢？事实上是可以的，这是以仿射变换为依据的。1、定义和性质定义1设21,ll是平面上两条直线，过1l上的点,,,321aaa，作一组平行直线交2l于点,,,321bbb，这样建立的21ll与间点的一一对应称之为平行投影。定义2设nlll,,,21是平面上n两条直线，记21ll与，32ll与，,nnll与1间的平行投影分别为121,,,n，称这样建立的nll与1间点的一一对应为仿射对应。定义3把建立在l自身上的仿射对应称为仿射变换。定义4平面直角坐标系在仿射变换下的像为仿射直角坐标系（它和平面直角坐标系有许多类似之处）。定义5仿射变换的代数表达式为232221131211ayaxayayaxax022211211aaaaK。其逆变换为222111yxyyxx。定义6设CBA,,为直线l上三点，记有向线段BCAC,的数值之比BCAC为这三点的简单比（简比或单比），记为（ABC）。性质1在仿射平面上，直线的方程是一次的。性质2仿射变换把直线变为直线，把代数曲线仍然变为代数曲线，而且曲线的次数不改变。性质3简单比是仿射不变量。性质4两个三角形的面积之比是仿射不变量推论1任意两个多边形的面积之比是仿射不变量。推论2任意两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量。6性质5两条平行直线经仿射变换后仍为平行直线（平行性是仿射不变性）。推论1两条相交直线经仿射变换后仍为相交直线。推论2共线的点经仿射变换后仍为共线的点。推论3共点的线经仿射变换后仍为共点的线。此三个推论说明：结合性是仿射不变性。性质6圆的仿射变换像是椭圆。2、例子例1设直线MN过ABC的重心G，分别交AB，AC与M，N。求证1NACNMABM。例2（梅内劳斯定理）设MNL,,分别在ABC的边ACAB,及BC（或延长线）上，求证：MNL,,三点共线的充要条件是1NACNMCBMLBAL。例3利用仿射变换求椭圆的面积。例4求证直线hkxy与椭圆12222byax相切的条件是2222hbak。例5求椭圆内接三角形的最大面积。例6平行四边形ABCD中，FE,分别是BCDC,边的中点，连接BEAE,与DF交于QP,两点，试求EPQ与平行四边形ABCD面积之比。例7试将圆的一些结论移植到椭圆上。这个讲座的目的，就是要解决如何在现代数学的观点指导下，加强高等数学与中学数学的联系。具体地有以下几个方面：一是将现代数学（特别是高等数学），的思想、观点和方法渗透到中学数学中去；二是揭示中学数学某些难以解释和处，理的问题的高等数学背景；三是通过具体材料或实例展示高等数学对中学数学的指导意义。