二次函数图象与系数a、b、c之间的关系

1二次函数的图象特征与系数a、b、c的关系【教材分析】二次函数是北师大版数学九年级下册第二章的内容，本节课是一节复习课。二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是初中代数的重要内容之一，体现了数形结合的思想,也是高中数学知识的基石。正因为二次函数在初中数学中很重要，所以是中考必考的内容。每年中考大约26-32分之间，其中填空题、选择题、解答题均有，分值也不相同。本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步复习二次函数图象特征和系数a、b、c之间的关系。学生在初学时只是按课本上的教学内容学习，没有系统的总结和归纳，所以在教学时引导学生先总结找出规律，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象和系数a、b、c的联系，然后通过观察图象，结合解析式特点，思考和归纳函数图象的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数的系数对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，让学生对二次函数有一个形象和直观的认识。【学情分析】学生在七年级和八年级学习了一次函数和反比例函数，前期又系统学习了二次函数的内容，大多数学生已经具备了一些函数的有关性质和研究方法的经验，初步形成了利用函数的观点认识现实世界的意识和能力；也具备了简单的从图象获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力；也已经具备了一定的观察、分析能力和几何直观水平。【教学目标】知识技能：1.能够熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质；2.理解二次函数关系式中系数a、b、c对函数图象的影响；问题解决：1.能由二次函数解析式系数a、b、c，可以判断出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴、最值及增减性。2.根据图象对二次函数的性质进行分析，进一步积累研究函数性质的经验，发展几何直观。3.通过二次函数的综合练习，巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力。情感态度：1.营造轻松和谐的课堂气氛，鼓励学生敢于发表自己的想法，勇于质疑的学习习惯。2.通过对二次函数的有关概念、图象和性质等知识的回顾，对有关重要方法的总结，使学生进一步感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系。【教学重、难点】重点：熟练掌握二次函数图象与系数a、b、c之间相互关系。2难点：根据图象对二次函数的性质进行分析及系数a、b、c对函数图象的影响；课时安排：1课时教学过程：本节课设计了5个教学环节：回顾总结二次函数的图象和性质、中考试题讲解、习题巩固提升、课堂小结、布置作业。一、回顾总结二次函数的图象和性质1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质大致图象a0a0开口方向向上向下顶点坐标)44,2(2abacab)44,2(2abacab对称轴增减性在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而减少在对称轴右侧，y随x的增大而减少在对称轴左侧，y随x的增大而增大最值当时abx2abacy442min当时abx2abacy442min当时abx2abacy442min当时abx2abacy442min对y=ax2+bx+c的图象和性质的回顾、总结，学生可以拿出自己总结的知识框架回答上面三个表格的问题。二次函数的图象性质基本上是从开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值这五个方面出发讨论研究的，所以在回顾知识点时也从这几个方面出发，学生在回答时也要对比回答。xoyoyx直线abx2直线abx232、二次函数的图象特征与系数a、b、c的关系作用字母符号图象的特征a决定开口方向（上正、下负）a＞0开口向上a＜0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置，交点的坐标为（0，c）（上正、下负）c＞0交y轴的正半轴c=0过原点c＜0交y轴的负半轴a，b共同决定对称轴的位置，对称轴为直线（左同、右异）ab＞0对称轴在y轴左侧ab=0对称轴为y轴ab＜0对称轴在y轴右侧b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac=0与x轴有一个交点b2-4ac0与x轴没有交点3、常见特殊式子特殊式子a+b+cx=1时的y值与x轴的位置a-b+cx=-1时的y值与x轴的位置4a+2b+cx=2时的y值与x轴的位置4a-2b+cx=-2时的y值与x轴的位置二次函数图象与系数a、b、c之间的关系，用表格的形式展现，即形象又直观，学生容易理解掌握。并且巩固所学知识点,让学生有整体的知识框架。二、中考试题讲解回顾了知识框架,我们来看近三年二次函数图象特征与系数关系的考题.1、(兰州市2016年中考13题)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴abx22b2b4是直线x=-1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜；③2a+b=0；④a－b+c＞2。其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．42、(兰州市2014年中考14题)：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（）A．abc＜0B．2a+b=0C．b2-4ac0D．a-b+c＞03、(兰州市2015年中考13题)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（）A．ac+1=bB．ab+1=cC．bc+1=aD．以上都不是-2-1-22-1121xyx=1xyo-15第3题图3让学生自己分析自己解决并上黑板讲解演示。通过近三年中考试题的考察二次函数图象特征与系数之间的关系,进一步让学生体会函数的重要性,加深了解它们之间相互关系.并能掌握一般的题型.三、习题巩固提升巩固练习：1、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中，错误的是()A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．b2－4ac＞0第1题图第2题图第4题图2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点P（a，bc）在第＿＿象限。3、已知二次函数cbxaxy2(a≠0)的图象如图3所示,其对称轴为直线，给出下列结论:(1)；(2)＞0；(3)；(4)；(5).则正确的结论是（）A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)(5)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)(5)4、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y＜0；③若当(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a＋3b＋c＝0.其中正确的是()A．①②④B．①④C．①②③D．③④拓展提高、知识升华5、二次函数cbxaxy2(a≠0)中，如果a0，b0，c0，那么这个二次函数图象的顶点必在第象限6、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c0；③ab；④4ac－b20.其中，正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个COAxyx067、二次函数cbxaxy2(a≠0)的图象如图所示，则下列各式中成立的个数是（）（1）abc＜0；（2）a＋b＋c＜0；（3）a＋c＞b；（4）a＜－2b．A．1B．2C．3D．48、已知二次函数cbxaxy2(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a－b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0.其中所有正确结论的序号是（）A.③④B.②③C.①④D.①②③第6题图第7题图9、已知二次函数cbxaxy2（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c0；②a－b+c0；③b+2a0；④abc0，其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③10、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④若点B(－52，y1)，C(－12，y2)为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是___.(只填序号)第10题图第11题图第13题图11、小明从图所示的二次函数cbxaxy2的图象中，观察得出了下面四条信息：①032ba；②acb42＜0；③0cba；④方程02cbxax必有一个根在-1到0之间．你认为其中正确信息的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个12、已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k-54B．k-54且k≠0C．k-54D．k-54且k≠013、已知二次函数cbxaxy2（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）其中正确的结论有______（填序号）x-11yO第9题图5第8题图714、已知b＜0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为图象中四个图象之一，试根据图象分析，a的值应等于（）A．-2B．-1C．1D．2先看1-4题，学生独立完成，老师盯对答案，第4题找学生上黑板演算讲解过程，小组合作学习完成5-14题，然后每一组派一个代表讲解典型题的过程。通过习题的练习,再次让学生巩固掌握二次函数图象特征与系数之间的关系.加深对函数知识的认识.四、课堂小结通过今天的学习，你掌握了哪些知识点？怎样解决问题？请学生总结回顾五、布置作业课本59页复习题10－15六、教学反思通过知识要点和重要方法的回顾、总结，梳理所学知识和方法，使其系统化。通过练习，巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力。通过小组讨论方式，使学生能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流的过程中对自己的观点进行有条理地论述为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.不足的是应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使合作学习更具实效性。-110yx-110yx0x0yx