高阶行列式的计算

-1-华北水利水电学院课程名称：高价行列式的计算专业：机械设计自造及其自动化姓名：朱振涛班级：2012082学号：201208213-2-摘要：本文介绍了几种高阶行列式的计算方法，包括加边法，拆项法等内容，并根据例子具体分析了适用于不同方法的行列式的特征。行列式在数学中有很广泛的应用，因此研究它的计算方法是非常必要的，且高阶行列式的计算有很强的技巧性。关键词：高阶行列式计算CalculationofHigherOrderDeterminantAbstract:Thispaperintroducedsomemethodsofthecalculationofhigherorderdeterminant,suchasplusingsideoflaw,takingapartthetermandsoon,andanalysisinghowtoselectrightmethodbasedonthefeaturesofdeterminantindetail.Thedeterminantisveryuseful,sostudyingitssolution’smethodisimportant.Besides,weshouldthinkhighlyofitsskill.Keywords:higherorder;determinant;calculation高阶行列式计算的基本思想是“化零”和“降阶”，也就是说先根据行列式的性质将行列式进行恒等变换，使之出现较多的零元素，再利用上（下）三角行列式计算或用按行（列）展开定理来降低行列式的阶数,其他方法也都遵循这个基本的思想。１．加边法加边法就是在不改变原有行列式的值的基础上，把原有行列式加上一行一列，使之便于用行列式的性质或定理（如按行展开定理）对行列式做化简计算。适用于加边法的行列式的特征:形如BCA的行列式可采用加边法，其中A=naaa21，B=nbbb21,C=(nccc21,),naaa21≠0,此时行列式D=BCA=nnnnnnncbacbcbcbbacbcbcbcba2122212121111,-3-观察其结构发现：第i行中有公因子ib,第i列中有公因子ic.计算方法为：将原行列式加一行一列即D加边nnnnnnnncbacbcbcbcbacbcbcbcbaccc00012122221212111121,再将第一行乘以（－ib）分别加到第(i+1)行（i=n2,1），得nnnabababccc0000001221121，再把第二行乘以（－11ac）加到第一行，第三行×（－22ac）加到第一行…第n+1行×（－nnac）加到第一行，得nnniiiiababacb00000001111=naaa21（niiiiacb11）.例1计算D=naaa22222222222221.分析：原式等价于)222(11121naaa,可见符合上述特征，可加边为-4-222022202220222121naaa，再按上述步骤进行计算。２．各行（或列）加到同一行（或列）中适用于行列式的各行或各列元素和相等的情况，把各行或各列加到同一行（一般为第一行），则第一行元素有公因式，把公因式提到行列式外，再根据行列式的性质变换化简行列式。例2计算D=121123312321nnnnnn.分析：观察知每行元素和都为2)1nn（,把每一列都加到第一列，再提取公因式2)1nn（,得D=1211121311321nnnnn,再把第一列分别×（-2）加到第二列，×（-3）加到第三列…×（-n）加到第n列，得到下三角行列式nnn1531020100110001=1)1(n(n-1)！.３．拆项法3.1D=1D+2D有些行列式可以把某一行或列的每一个元素都看成两个元素的和，则可以根据行-5-列式的性质把原行列式拆成两个行列式的和，且拆成的两个行列式可以用已知的方法求出值。例3求行列式nD=baaaabaaaabaaaab.分析：这道题首先可以想到用各行加到同一行，不过这里研究一下拆项法怎么做，首先把原行列式元素变成两个元素的和，即nD=aabaaaaabaaaaab000000，先对第一列进行拆项得aabaaaabaaab000000+aabaaaaabaaaa0000，然后依次分别对第二列、第三列…第n列进行拆项，最后可拆成ababab+ni1abaabaaabaab（i）,由此可直接求出nD=1)()(nnabnaab.3.2D=1D2D若矩阵A可以分成两个矩阵1A与2A的乘积，则要求A可依据矩阵乘积的性质先把A分解成A=1A2A，再由A=1A2A求出A。这样做只有在行列式1A、2A的计-6-算比A容易时才有意义。例4矩阵A=nnnnnnnbabababababababababababa33333333333321323132221212111,求A.分析：A可分成1A=001001001001321naaaa与2A=000000003333321nbbbb的积，于是A=0000000033330010010010013214321nbbbbaaaa=0.４．递推法递推法的关键是找出nD与1nD及2nD的递推关系，有些行列式的每一行（或列）至多有两个不为零的元素，或者是除某一行（列）、对角线和次对角线不为零以外，其余的元素都为零等情况，即行列式某一行或列以零较多时，可先按行（或列）展开，由此得到递推式nD=21nnbDaD,这时候根据不同情况用不同的方法求出nD.方法一：将上面得到的递推式设为nD－1nD=)(21nnDD,则ba,，从而,是方程02baxx的两个根，由韦达定理求出,之后再依次类推直至求出nD.-7-例5求行列式nD=610000560000005610000561000056.分析：行列式中零较多，可按照第一列展开得nD=61nD-52nD，将其变形得nD-1nD=51nD-52nD=5（1nD-2nD）=25（2nD-3nD）=…=25n（2D-1D），而316156,621DD，所以nD-1nD=n5，依此类推，nD=1nD+n5=2nD+15n+n5=…=1D+25+…+15n+n5=1055…+15n+n5=4151n.方法二：可得到两个递推式，可看做以nD与1nD为未知数二元一次方程，解方程直接求出nD.例6计算nD=acccbcccbaccbbacbbba，（b≠c）.分析：发现对角线上都为a,对角线左下方都为c，右上方均为b，可先用拆项法把原行列式拆成两个行列式之和，即nD=acccbcccbaccbbacbbbcacccbcccbaccbbacbbbbca0000，将第一个行列式按列展开，提出第二个行列式的公因子c，再将第一列×（-b）-8-分别加到每一列，则第二个行列式化为下三角行列式，值为c1)(nba．于是得到一个递推式nD=（a-c）1nD+c1)(nba，由于此题有特殊对称性，因此可得到另一递推式nD=（a-b）1nD+b1)(nca．则联立以上两个方程便可直接求得nD=cbbaccabnn)()(．方法三：先计算低阶行列式1D，2D，3D等，找出递推规律，之后再用数学归纳法进行证明。５．由矩阵的特征值求行列式的值求矩阵对应的行列式的值可依据特征值与行列式的关系来计算，我们已经知道若n阶矩阵B的所有特征值为n21,，则其对应行列式B=n21,，因此只要计算出所有特征值，也就知道了B．此外，如果知道矩阵有一个特征值为零，则直接就可以得出对应行列式为零的结论。例7求nD=321321321321annanana．分析：设与之对应的矩阵为A=annanana321321321321,观察矩阵可发现求特征值不只有一种方法，可直接由0E-A求出特征值，把A写成naE+nA,其中-9-nA=nnnn321321321321，A的特征值即为naE与nA的特征值之和，nE的特征值为n个1，则naE的特征值为n个a，接着求nA的特征值EAn=nnnn321321321321=]2)1([321321321321nnnnnn=]2)1([0010010010001nn=1)](2)1([nnn=0，求得nA的n个特征值为0,02)1(，nn0，因此矩阵A的n个特征值为,,,2)1(bbbbnn则nD=[bnn2)1(]1nb．运用矩阵特征值与行列式关系对求抽象行列式的值有很大帮助，因而被广泛使用。６．线性因子计算法假如行列式D中存在某些元素是变量x或某个参数的多项式，则可以把行列式看做是变量x的多项式)(xf,根据行列式的性质变换行列式求出)(xf的所有的互素的一次线性因式，具体做法如下：求出使得)(xf=0的1x,2x…，记)(xg=（x-1x）（x-2x）…，则)(xg就是这些一次线性因式的乘积。比较)(xf与)(xg的次数，若不相同，则需要继续找线性因式；若次数相同，则不需再找，此时)(xf与)(xg只相差一个常数,即)(xf=c)(xg．接下来只需用待定系数法，比较等式两边函数的某一项系数，就可以把c确定下来。-10-例8计算D=1042114214275423522xx.分析：题中行列式D的元素中有变量x，可以看做变量x的多项式)(xf，并且)2(f6421142142354235=0，)3(f14211421422-54235=0，所以)(xf有一次线性因子x-2，x+2，x-3，x+3，比较4x的系数，D中带有4x的项系数为18，所以D=18(x-2)(x+2)(x-3)(x+3).另外，若行列式中某些元素是多个变量的多项式，也可以按照上述方法处理。7．利用导数求行列式首先要知道行列式的求导法则：即逐行或逐列所求导数之和。对于含有不同字母的行列式，求导时可以先假设其中任一字母为变量，其余字母为常量，再关于行列式对此变量求导。运用导数求行列式的值，关键是要构造一个新的行列式函数，所构造的这个行列式函数要求比较容易求值，且与所要求的行列式有联系，比如说：使行列式函数在某一点的导数值，与所要求的行列式相同，或者是较易求值行列式与所求行列式之和，因而把行列式的计算问题转化为行列式求导的问题。例10求n阶行列式nD=nnnnnnnnnaaaaaaaaa111212222121．分析：观察行列式，发现与范德蒙行列式相似，可采用加边法，在原有行列式基础上加一行一列，可配成范德蒙行列式，直接运用公式计算，在这里主要说一下怎样利用导数计算，首先构造一个行列式函数：-11-()nDx=xannxanxanxannxanxanxanxaxaxaxaxannnneaeaeaeaeaeaeaeaeaeee11