平面图概念与性质

平面图的概念与性质数学与统计学院应用数学系张欣图的平面性问题是图论典型问题之一。生活中许多问题都与该问题有关。(一)、平面图的概念例子1：电路板设计问题在电路板设计时，需要考虑的问题之一是连接电路元件间的导线间不能交叉。否则，当绝缘层破损时，会出现短路故障。显然，电路板可以模型为一个图，“要求电路元件间连接导线互不交叉”，对应于“要求图中的边不能相互交叉”。例子2：空调管道的设计某娱乐中心有6个景点，位置分布如下图。A1A4A5A3A2A6分析者认为：(1)A1与A4,(2)A2与A5,(3)A3与A6间人流较少，无需铺设空调管道；其它景点之间人流量大，必须投资铺设空调管道，但要求空调管道间不能交叉。如何设计？如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应的图为：A6A5A4A3A2A1于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不会相互交叉？通过尝试，可以把上图画为：于是，铺设方案为：A6A5A4A3A2A1A1A4A5A3A2A6问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道不与另外的线或管道相交，能否办到？例子3：3间房子和3种设施问题上面问题可以模型为如下图：H3H2H1EWG问题转化为，能否把上图画在平面上，使得边与边之间不会交叉？上面的例子都涉及同一个图论问题：能否把一个图画在平面上，使得边与边之间没有交叉？针对这一问题，我们引入如下概念定义1如果能把图G画在平面上，使得除顶点外，边与边之间没有交叉，称G可以嵌入平面，或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法，称为G的一种平面嵌入，G的平面嵌入表示的图称为平面图。H3H2H1EWG图GH3H2H1EWG图G的平面嵌入注:(1)可平面图概念和平面图概念有时可以等同看待；(2)图的平面性问题主要涉及如下几个方面：1)平面图的性质；2)平面图的判定；3)平面嵌入方法(平面性算法);4）涉及图的平面性问题的拓扑不变量。由图的平面性问题研究引申出图的一般嵌入性问题的研究，形成了拓扑图论的主要内容。历史上，波兰数学家库拉托斯基、美国数学家惠特尼、生于英国的加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都在拓扑图论中有过精湛的研究。(二)、平面图性质定义2（1）一个平面图G把平面分成若干连续的部分，这些连续的部分称为G的区域，或G的一个面。G的面组成的集合用Φ表示。在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部面。Φ=｛f1,f2,f3,f4｝。平面图Gf1f3f2f4（2）面积有限的区域称为平面图G的内部面，否则称为G的外部面。（3）在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称为该面的边界。某面f的边界中含有的边数(割边计算2次)称为该面f的度数,记为deg(f)。平面图Gf1f3f2f4在上图中，绿色边在G中的导出子图为面f3的边界。1deg()1f2deg()3f3deg()6f4deg()6f1、平面图的度数公式定理1设G=(n,m)是平面图，则：deg()2ffm证明：对G的任意一条边e,如果e是某面割边，那么由面的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边，那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义，它也给总次数贡献2次。于是有：deg()2ffm2、平面图的欧拉公式定理2(欧拉公式)设G=(n,m)是连通平面图，ф是G的面数，则：2nm证明：情形1，如果G是树，那么m=n-1,ф=1。在这种情况下，容易验证，定理中的恒等式是成立的。情形2，G不是树的连通平面图。假设在这种情形下，欧拉恒等式不成立。则存在一个含有最少边数的连通平面图G,使得它不满足欧拉恒等式。设这个最少边数连通平面图G=(n,m),面数为ф，则：2nm因为G不是树，所以存在非割边e。显然，G-e是连通平面图，边数为m-1,顶点数为n,面数为ф-1。由最少性假设，G-e满足欧拉等式：化简得：(1)(1)2nm2nm这是一个矛盾。注：该定理也可以采用对面数ф作数学归纳证明。3、欧拉公式的几个有用推论推论1设G是具有ф个面k个连通分支的平面图，则：1nmk证明：对第i个分支来说，设顶点数为ni，边数为mi，面数为фi,由欧拉公式：2iiinm所以，12kiiiinmk而：1112kkkiiiiiinmk1kiinn1kiimm11kiik所以得：1nmk推论2设G是具有n个点m条边ф个面的连通平面图，如果对G的每个面f,有：deg(f)≥l≥3,则：(2)2lmnl证明：一方面，由次数公式得：22deg()fmmfll另一方面，由欧拉公式得：2nm所以有：22mnml整理得：(2)2lmnl注:(1)上面推论2也可以叙述为：设G=(n,m)是连通图，如果：(2)2lmnl则G是非可平面图。(2)推论2的条件是G是平面图的必要条件,不是充分条件。例1求证：K3,3是非可平面图。证明：注意到，K3,3是二分图，不存在奇圈，所以，每个面的次数至少是4,即l=4所以，而m=9，这样有：所以，由推论2，K3,3是非平面图。4(2)(62)822lnl(2)2lmnl推论3设G是具有n个点m条边ф个面的简单平面图，则：36mn证明：情形1，G连通。因为G是简单图，所以每个面的次数至少为3，即l=3。于是，由推论2得：情形2，若G不连通。设G1,G2,…,Gk是连通分支。36mn一方面,由推论1：1nmk另一方面，由次数公式得：23m所以得：33(1)36mnkn例2证明：K5是非可平面图。证明：K5是简单图，m=10,n=5。3n-6=9。得，，所以K5是非可平面图。36mn推论5设G是具有n个点m条边的简单平面图，则：5证明：若不然，设6则()6()236vVGndvmmn这与G是简单平面图矛盾。注：该结论是证明“5色定理”的出发点。