高中第四册数学排列组合

高中第四册数学排列组合二项式一、选择题1．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是()A．100个B．90个C．81个D．72个2．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有()A．30种B．36种C．42种D．48种3．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有()A．120种B．240种C．48种D．24种4．(2＋33)100的展开式中，无理项的个数是()A．83B．84C．85D．865．如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有()A．8种B．12种C．16种D．20种二、填空题6．在(1－x2)10的展开式中，x4的系数为________．7．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．三、解答题8．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(165x2＋1x)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．9．将标有数字1,2,3,4,5的五张卡片放入标有数字1,2,3,4,5的五个盒子中，每个盒子放一张卡片，且卡片上的数字与盒子所标的数字均不相同，则共有多少种不同的放法？选修2-31章末综合训练一、选择题1．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是()A．100个B．90个C．81个D．72个[答案]C[解析]要使点不在x轴上，则纵坐标不能为0，故纵坐标上的数字只能有9种选择，纵坐标选好后，横坐标不能与之相同．故也有9种选择，由分步乘法计数原理得，N＝9×9＝81(个)．2．(2010·重庆文，10)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有()A．30种B．36种C．42种D．48种[答案]C[解析]本题考查排列组合的基本知识，涉及分类，分步计算原理、特殊元素、特殊位置．甲在16日，有C14C24＝24种；甲在15日，乙在15日有C24＝6种．甲在15日，乙在14日时有C14C13＝12种，所以总共24＋6＋12＝42，故选C.3．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有()A．120种B．240种C．48种D．24种[答案]C[解析]本题是有条件限制的排列问题，可采用特殊元素或特殊位置法；由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人有A44种不同的排法，故总的排法总数为A44·2＝48(种)．4．(2＋33)100的展开式中，无理项的个数是()A．83B．84C．85D．86[答案]B[解析]展开式中的项，不是有理项，便是无理项，先求有理项．∵Tr＋1＝Cr100(2)100－r·(33)r＝Cr100·2100－r2·3r3，∴要使展开式中的项为有理项，r为6的倍数．又0≤r≤100，且r∈N，∴r的取值为0,6,12，…，96，它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列．设它有n项，则96＝6(n－1)，∴n＝17.因为展开式中共有101项，其中有17项有理项，可知无理项有84项．5．如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有()A．8种B．12种C．16种D．20种[答案]C[解析]问题可转化为分离的4个区域，用3条线段将其连接起来，不同的连接方案有多少种？如右图，分别连接A、B、C、D四点的线段共有6条，任意选3条有C36种连接方法，其中A—B—C—A，A—B—D—A，A—C—D—A，B—C—D—B四种情况不合题意，应舍去，所以共有C36－4＝20－4＝16(种)．二、填空题6．(2010·湖北文，11)在(1－x2)10的展开式中，x4的系数为________．[答案]45[解析]本题主要考查二项式定理．(1－x2)10的展开式中，只有两个括号含x2的项，则x4的系数为C210(－1)2＝45.7．(2009·重庆·理13)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．[答案]36[解析]考查排列组合知识．必有2个大学生去同一个乡镇，故不同的分配方案共有C24·A33＝36种．三、解答题8．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(165x2＋1x)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．[解析]由(165x2＋1x)5，得Tr＋1＝Cr5(165x2)5－r(1x)r＝(165)5－r·Cr5·x20－5r2，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4，∴常数项T5＝C45×165＝16，又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意得2n＝16，∴n＝4，由二项式系数的性质可知，(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，∴C24a4＝54，∴a＝±3.9．将标有数字1,2,3,4,5的五张卡片放入标有数字1,2,3,4,5的五个盒子中，每个盒子放一张卡片，且卡片上的数字与盒子所标的数字均不相同，则共有多少种不同的放法？[解析]如图所示，首先确定标号为1的盒子放入卡片的方法，它可以放标号为2,3,4,5的卡片，不妨设它放入了标号为2的卡片．再确定标号为2的盒子放入卡片的方法，它又分作两类，一是放入标号为1的卡片，于是再确定标号为3的盒子的放法，它可以放标号为4,5的卡片，不妨设为4，则标号为4的盒子就只能放标号为5的卡片，标号为5的盒子就只能放标号为3的卡片；二是放入标号为3,4,5的卡片中的一张，不妨设为3，则标号为3的盒子可放标号为1,4,5的卡片中的一张，并且当它放定后，标号为4,5的盒子均只有一种放法，于是由两个计数原理可知，不同的放法共有4×(2＋3×3)＝44(种)．