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§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ．要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ（α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0．∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3．以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．