对数与对数运算

假设2004年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8％，那么多少年后我国的国民生产总值是2004年时的2倍？解:假设经过x年国民生产总值为2004年时的2倍，根据题意有:aax2%)81(aax208.1??x思考208.1x即：？1.对数的概念在指数函数ｙ＝ａ中，对于实数集Ｒ内的每一个值ｘ，在正实数集内都有唯一确定的值ｙ和它对应；x反之，对于正实数内的每一个确定的值ｙ，在Ｒ内都有唯一确定的值ｘ和它对应；幂指数ｘ，又叫做以ａ为底ｙ的对数．例如因为1642所以２是以４为底16的对数因为441因为21421所以1是以４为底4的对数所以的对数为底是以21421一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作：bNalog其中a叫做对数的底数，N叫做真数．读作：以a为底N的对数注：指数式和对数式表示的是a,b,N三者之间的同一关系，只是表示形式不同而已。ab=NlogN=ba底数指数幂底数真数对数____100lg_____102，填空：1、______16log______442，2、216log16442162______2log______4421，212log24421222100lg10010210021____01.0lg____102，201.0lg01.010201.02２、b的范围是Ｒ３、Ｎ的范围是R+，为什么会有这个结论？想想看：在对数式中，a，b，N的取值范围分别是什么？１、a的范围是a＞0，a≠1一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作bNalog其中a叫做对数的底数，N叫做真数．再来回顾一下定义：探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑵,01loga对任意0a且1a都有10a01logaaa11logaa⑶对数恒等式设Nab则bNalog则有NaalogNaNalogN2.常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫做常用对数为了方便，N的常用对数log10N简记为lgN。例如log102简记为lg2log1012简记为lg12(2)在科学技术中常常使用以一个无理数e=2.71828……为底数的对数，这样的对数叫做自然对数为了方便，N的自然对数logeN简记为：lnN。例如loge2简记为ln2loge12简记为ln12例1将下列指数式改为对数式(1)24=16(2)3-3=21271271(3)5a=20(4)()b=0.45解(1)log216=4(2)log3=-3(3)log520=a(4)log0.45=b21例2把下列对数式改写成指数式416log)1(217128log)2(21621412827241log)3(241224811log)4(381134例3求下列各式的值:(1)log264;(3)lg1;(5)lg0.001;2-306(6)log927.(2)log3.19___(4)lg100.-232____2333321.0lg10lg)4(27log9log)3(100lg)2(22log1）（练习13466253.积、商幂的对数R)M(nnlogM(3)logNlog-MlogNM(2)logN;logMlog(MN)log10,0NM1,a0,aanaaaaaaa）（那么如果用,logxa,logyazalog表示下列各式：32log)2(;(1)logzyxzxyaazxyzxyaaalog)(loglogzyxaaalogloglog解：（2）3121232log)(loglogzyxzyxaaa31212logloglogzyxaaazyxaaalog31log21log2解：（1）例4(1)log2(23×45)(2)log51251323练习2例5已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,求下列各式的值(结果保留四位小数):(1)lg363281lg(2)1.55620.4034例618lg7lg37lg214lg：计算18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg)32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法一：解法二：练习：42log2112log487log)1(2228lg3136.0lg2119lg212lg2)2(12_____14.换底公式NbxNxb写成指数式设,log为底的对数，得两边取以aNbaxaloglogNbxaaloglog0log,1,0bbbabNxaaloglogbNNaablogloglog即证明：)0,1,0,1,0(logloglogNbbaabNNaab例7求的值32log.9log278例8求证：zzyxyxlogloglog证明：因为所以zyyxloglogyzyxxxlogloglogzxlogzzyxyxlogloglog例9求证：bbananloglog910……………….)2log4log8(log)5log25log125)(log3(625log9log)2(8log5log3log15251258422725532）（=3=4/3=13计算:2log2log318表示，试用已知aa2log18由18log2log33)92(log2log33a2log22log332log22log33aa,12log18aaa122log3例10解:1.计算下列各式的值.8.1lg10lg3lg2lg).3(2lg20lg.5lg8lg325lg).2(245lg8lg344932lg21).1(22312——12——5.换底公式.4.对数的运算.3.常用对数和自然对数.2.指数式与对数式的关系和转化.1.对数的概念、表示.1．在指数函数y＝ax(a0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做________，记作________，即________．数a叫做对数的________，y叫做________，读作________．2．对数恒等式：________.3．对数logaN(a0且a≠1)的性质：(1)________；(2)________；(3)________．4．以10为底的对数叫做________，即把log10N记作___．以a为底y的对数logayx＝logay(a0，且a≠1)底数真数x等于以a为底y的对数零和负数没有对数，即N01的对数为零，即loga1＝0底的对数等于1，即logaa＝1常用对数lgN5．对数的运算法则(1)loga(MN)＝________.loga(N1N2…Nk)＝______________.即正因数积的对数等于______________．(2)logaMN＝logaM－logaN.即两个正数商的对数等于____________________．(3)logaMx＝xlogaM.即正数幂的对数等于________________．6．对数换底公式logab＝logcblogca(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)．logaM＋logaNlogaN1＋logaN2＋…＋logaNk同一底数的各因数对数的和同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂指数乘以同一底数幂的底数的对数答案：1.以a为底y的对数logayx＝logay(a0，且a≠1)底数真数x等于以a为底y的对数3．零和负数没有对数，即N01的对数为零，即loga1＝0底的对数等于1，即logaa＝14．常用对数lgN5．logaM＋logaNlogaN1＋logaN2＋…＋logaNk同一底数的各因数对数的和同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂指数乘以同一底数幂的底数的对数1．对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a0，a≠1，N0呢？对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a0且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．从定义不难发现无论是指数式ab＝N，还是对数式logaN＝b都反映的是a、b、N三数之间的关系．在对数符号logaN中，若a0，则N为某些值时，logaN不存在，如log(－2)8不存在．若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不唯一．若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不唯一．因此规定a0且a≠1.因为logaN＝b⇔ab＝N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N0.2．式子logaMn＝nlogaM表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？题型一对数式中底数和真数的范围求解．【例1】对数式log(a－3)(7－a)＝b中，实数a的取值范围是()A．(－∞，7)B．(3,7)C．(3,4)∪(4,7)D．(3，＋∞)答案：C分析：根据对数的定义知，先看底数a－30，且a－3≠1，再看真数7－a0，要使对数式有意义，必须以上条件都适合，因此，应该解以上不等式组成的不等式组．解：由题意得a－30，a－3≠1，7－a0，解得3a7，且a≠4.故选C.评析：求a的范围问题，往往转化为求不等式的解集．变式训练1求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围．题型二指数式与对数式的相互转化【例2】将下列指数式与对数式进行互化．分析：根据对数式的定义求解．解：(1)log3127＝x；(3)log515＝－12；(4)(2)4＝4；(5)10－3＝0.001；(6)(2－1)－1＝2＋1.评析：明确对数的定义是解题的关键．指数式与对数式是互逆的，二者能够相互转化，熟练掌握二者的互化，能够加深对指数式和对数式的理解，为后面学习对数函数打下坚实的基础．变式训练2(1)已知f(log2x)＝x，则f(12)＝________.(2)已知log32＝a,3b＝5，则log330用a，b表示为________．(3)设a，b，c均为正实数，且3a＝4b＝6c，则有()A.1c＝1a＋1bB.2c＝2a＋1bC.1c＝1a＋12bD.2c＝1a＋2b(2)∵3b＝5，∴log35＝b.又∵log32＝a，∴log330＝12log3(3×2×5)＝12(log33＋log32＋log35)＝12(1＋a＋b)．(3)设3a＝4b＝6c＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k.∴1a＝1log3k＝logk3，1b＝1log4k＝logk4，1c＝1log6k＝logk6，则2c＝2logk6＝logk62＝logk36，2a＋1b＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36，∴2c＝2a＋1b.∴选B.评析：(1)解题要注意寻找已知和所求之间的联系，寻找共同点和不同点，再化异为同，就能解决问题．本题的共同点是已知和所求中都是以3为底的对数，不同点是真数不同，因此，将真数30化为3×2×5，从而与已知产生联系．(2)已知条件中有a、b、c三个量，令人无所适从，这时，设3a＝4b＝6c＝k，则a、b、c都统一用一个量k来表示，则称k为基本量，用基本量法解题，能够减少未知量，并能很快地找出各个量之间的联系，能够迅速架起已知和未知的桥梁，能够集中目标，提高解题速度．分析：反复使用对数恒等式，即可得解．