高二-导数的概念

1.1.2导数的概念教材分析《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容,是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念.它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具.课时分配本节内容用1课时的时间完成，本节主要讲解导数的概念及其应用.教学目标重点:由瞬时变化率引入导数的概念，理解导数的内涵.难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．知识点：导数的概念及其应用.能力点：理解导数概念中的极限思想.教育点：经历由平均变化率到瞬时变化率的推导过程，体会极限的数学思想，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用导数的定义求解函数在某一点的导数值.考试点：用导数的定义解决简单的数学问题.易错易混点：导数定义中的极限思想.拓展点：由导数的定义推导导函数定义.教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题，我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态，而运动员在不同时刻的运动状态是不同的，我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画.那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢？【师生活动】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？教师引导：我们可以借助于上节课所研究的函数在某一点附近的平均变化率的求解过程来解决.考察2t附近的情况：思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？【学生分析】当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．我们可以先求运动员在某一时刻附近的平均速率，然后再让变量t无限小，直至趋近于0时，那么平均速率v所趋紧的值就可以认为是运动员在该时刻的瞬时速率.【设计意图】通过本例让学生对瞬时速率的求解过程有个大致的认识，进而引入下面所要研究的导数的概念.【设计说明】局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.二、探究新知导数的概念一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxfxx我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作'0()fx或0'|xxy，即00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx说明：（1）0limx仅仅是一种符号，表示后面的式子当中x无穷趋近于0；（2）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；（3）0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx【设计意图】由瞬时变化率的概念引入函数在某一点的导数的概念，突出的是无穷趋近的极限思想.三、理解新知分析公式导数定义式子的结构特点，体会无穷趋近的极限思想．学会运用导数的定义式求函数在某一点的导数值.[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1．（1）求函数23yx在1x处的导数.分析：先求f，再求fx最后求出极限0limxfx即为所求导数.解：法一：2(1)(1)6()fyfxfxx，则6fxx，所以00limlim(6)6xxfxx，即(1)6f；法二：222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx（2）求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx.【设计意图】本例为导数概念的基础题型，考查学生对导数概念的理解，通过本例使学生掌握利用导数定义求函数在某一点处的导数这种基本题型.【变式练习】求函数2()fxxx在1x附近的平均变化率，并求出该点处的导数.【设计意图】让学生亲身体会运用导数的定义求函数的导数的问题，注意联系平均变化率与瞬时变化率的关系.例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f根据导数定义，0(2)()fxfxfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得:(6)5f在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．【设计意图】本例为实际应用的问题，是学生体会瞬时变化率与导数这两个概念之间的关系，理解函数在某一点的导数的意义.【变式练习】有一机器人的运动方程为23stt（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻2t时的瞬时速度为（）.19.4A17.4B15.4C13.4D五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：主要学习了导数的概念，涉及到一种无穷趋近的极限思想.教师总结:导数的概念主要涉及到的极限思想要加强理解.提醒学生:在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识(如本节的瞬时变化率或导数)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．[设计意图]加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1.阅读教材P4—6；2.书面作业必做题：P10习题1.1A组2,3,4.选做题：1.设1()fxx，则()()limxafxfaxa等于____________.2.已知0000()()()lim,(3)2,(3)2xxfxfxfxffxx，则323()lim3xxfxx的值是________.七、教后反思1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学中，给学生介绍两种方法、说明思路的由来过程，一题多解开阔思路．例2为实际应用问题，既注重了与基础题型的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生对极限思想的理解．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在导数定义的得出及极限思想的理解上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计1．1．2导数的概念引入新课导数的概念例1例2小结作业