高二-简单的线性规划问题

枣庄三中2012---2013学年度上学期高二年级数学教学案§3.3.2简单的线性规划（第1课时）教材分析本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.教学目标重点：会用图解法解决简单的线性规划问题；难点：准确求得线性规划问题的最优解；知识点：了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；能力点：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力，并培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归的能力；教育点：让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣；自主探究点：分单元组探究利用图解法求线性目标函数的最优解；考试点：求得线性规划问题的最优解；易错点：找最优解；教法：启发式、单元组合作讨论式：通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与活动，以独立思考和单元组交流的形式，在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题.教具准备：多媒体课件，投影仪.课堂模式：学案导学教学过程一、创设情景在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，怎样达到省时、省力、高效是我们要研究的问题，下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？【设计意图】数学是现实世界的反映，通过学生关注的热点问题引入，激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。二、探究新知学生活动单元组合作探讨，并选代表发言。（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200xyxyxy.…………（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。教师提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？学生活动：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则23zxy，这样上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把23zxy变形为233zyx，这是斜率为23，在y轴上的截距为3z的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833yx），这说明，截距3z可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233zyx与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线233zyx与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距3z最大.得出结论：由上图可以看出，当实现233zyx经过直线4x与直线280xy的交点M（4，2）时，截距3z的值最大，最大值为143，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造，让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展的过程，体验转化和数形结合的思想方法，从而使学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。给出线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．三、理解新知（变换条件，加深理解）学生活动：探究课本第88页的探究活动（1）在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？反思过程，提炼方法解线性规划问题的基本步骤：（1）设列（列线性约束条件和目标函数）；（2）画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域；（3）过原点作目标函数直线的平行直线；（4）平移直线，观察确定可行域内最优解的位置；（5）求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。简记为设列——画——作——移——求五步。【设计意图】强化学生解题思路，规范解题步骤。四、应用新知1、典例分析例5：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？解：设每天食用，那么，总成本为食物食物zykgAxkgB,0,006.007.014.006.014.007.0075.0105.005.10yxyxyxyx（1），目标函数为yxz2128二元一次不等式组（1）等价于0,067146147577yxyxyxyx（2）做出二元一次不等式组（2）所表示的平面区域，即可行域考虑考虑yxz2128,将它变形为2134zxy,这是斜率为34、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当21z取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数yxz2128取得最小值.由图可见，当直线yxz2128经过可行域上的点M时，截距21z最小，即z最小.解方程组6714577yxyx得点M(71,74)，因此，当71x,74y时，yxz2128取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.补例：求23zxy的最大值和最小值，使,xy满足约束条件43,3545,1.xyxyx【设计意图】本题中的纵截距的取最大值时z不是取最大值而是取最小值，这样使学生产生思想上的知识的冲突，从而进一步认识到目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系.2随堂练习请同学们结合课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求2zxy的最大值，使式中的,xy满足约束条件.1,1,yyxxy（2）求35zxy的最大值和最小值，使式中的,xy满足约束条件.35,1,1535yxxyyx【设计意图】及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况.五：课堂小结（单元组交流整理，再选出代表发言，其他小组有不同见解可给与补充。）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）找出线性约束条件，确定线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解六、布置作业必做题：课本93P习题第3、4题思考题：把例5中变量,xy的范围改为,xyN,求z的最小值。【设计意图】对例5的变形为下一课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。七、教后反思由于上节课学习了怎样列不等式组和画不等式组表示的平面区域，所以对本节开始的引例学生很快得出结果，但对于引例求23zxy最值时，我通过在下面了解单元组的讨论情况，好学生都能通过预习了解去求，部分成绩弱的还是不太了解，所以为了强化学生的解题思路，在给出相关定义后我让学生结合引例总结解决线性规划问题的一半步骤，让接受慢的学生按部就班去解决线性规划问题，从后面例题和练习的处理，感觉效果还是很明显的。还有为了让学生不会有求z最大值就是求截距最大值错误思想，我特意选了补例，让学生深入理解求目标函数的灵活性。另一方面通过学生的单元组合作交流，学生都能参与进去，能充分调动学生的学习积极性，以后还会多多利用。八、板书设计引例§3.3.2简单的线性规划问题1、相关概念2、解决线性规划问题一般步骤例5补例练习（1）、（2）