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1高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪NB．M∩NC．（∁UM）∪（∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）2．已知复数z1=2+i，z2=1﹣2i，若，则=（）A．B．C．iD．﹣i3．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（）A．36B．24C．18D．125．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（）A．4B．C．3D．26．设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（﹣1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9757．已知不等式|a﹣2x|＞x﹣1，对任意x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）B．（﹣∞，2）∪（5，+∞）C．（1，5）D．（2，5）8．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．10．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．211．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．12．设函数，记Ik=|fk（a2）﹣fk（a1）|+|fk（a3）﹣fk（a2）|+…+|fk（a2016）﹣fk（a2015）|，k=1，2，则（）A．I1＜I2B．I1＞I2C．I1=I2D．I1，I2大小关系不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=8cosθ于A、B两点，则|AB|=．14．展开式中的常数项为．15．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是．16．已知曲线f（x）=xn+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．18．某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是．（1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望．319．已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．20．已知椭圆（a＞b＞0），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当n∈N*，且n≥2时，++…+＞．42014-2015学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪NB．M∩NC．（∁UM）∪（∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意可得5∈∁UM，且5∈∁UN；6∈∁UM，且6∈∁UN，从而得出结论．解答：解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁UM，且5∈∁UN．同理可得，6∈∁UM，且6∈∁UN，∴{5，6}=（∁UM）∩（∁UN），故选：D．点评：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题．2．已知复数z1=2+i，z2=1﹣2i，若，则=（）A．B．C．iD．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵复数z1=2+i，z2=1﹣2i，∴====i，则=﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：利用函数奇函数的定义，结合充分条件和必要条件进行判断即可．解答：解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f（0）=0，5则f（﹣x）=f（x）不一定成立，所以y=f（x）不一定是奇函数．比如f（x）=|x|，若y=f（x）为奇函数，则定义域关于原点对称，∵f（x）是定义在R上的函数．∴f（0）=0，即“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数奇函数的定义和性质是解决本题的关键．4．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（）A．36B．24C．18D．12考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，问题得以解决解答：解：先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，故甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为=36种．故选：A点评：本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，特殊位置优先安排的原则，属于基础题5．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（）A．4B．C．3D．2考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果．解答：解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx=3，故选：C．点评：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，属于基础题．66．设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（﹣1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据变量符合正态分布，且对称轴是x=0，得到P（|ξ|＜1.96）=P（﹣1.96＜ξ＜1.96），应用所给的Φ（﹣1.96）=0.025，条件得到结果，本题也可以这样解根据曲线的对称轴是直线x=0，得到一系列对称关系，代入条件得到结果．解答：解：解法一：∵ξ～N（0，1）∴P（|ξ|＜1.96）=P（﹣1.96＜ξ＜1.96）=Φ（1.96）﹣Φ（﹣1.96）=1﹣2Φ（﹣1.96）=0.950解法二：因为曲线的对称轴是直线x=0，所以由图知P（ξ＞1.96）=P（ξ≤﹣1.96）=Φ（﹣1.96）=0.025∴P（|ξ|＜1.96）=1﹣0.25﹣0.25=0.950故选C点评：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查对称性，是一个数形结合的问题，是一个遇到一定要得分数的题目．7．已知不等式|a﹣2x|＞x﹣1，对任意x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）B．（﹣∞，2）∪（5，+∞）C．（1，5）D．（2，5）考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：运用绝对值不等式的解法，结合题干利用不等式的性质进行求解．解答：解：当0≤x≤1时，不等式|a﹣2x|＞x﹣1，a∈R；当1≤x≤2时，不等式|a﹣2x|＞x﹣1，即a﹣2x＜1﹣x或a﹣2x＞x﹣1，x＞a﹣1或3x＜1+a，由题意得1＞a﹣1或6＜1+a，a＜2或a＞5；综上所述，则a的取值范围为（﹣∞，2）∪（5，+∞），故选B．点评：此题考查绝对值不等式的性质和不等关系与不等式的关系，此题是一道好题．78．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．考点：对数值大小的比较．分析：由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．解答：解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．点评：本题考查的是由f（a﹣x）=f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象．9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；数形结合．分析：依题意可求得3a+2b的值，进而利用=1把转化为（）×展开后利用基本不等式求得问题的答案．解答：解：由题意得3a+2b=2，=（）×=故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是构造出+的形式．810．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；压轴题．分析：m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率解答：解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B点评：本题考查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决本题的关键11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．考点：对数的运算性质；函数的图象与图象变化．分析：根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单