高二下期末复习导数二

1高二下期末复习导数及其应用二（文科）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y＝13x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－π4C.π4D.5π42．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)3．已知函数f(x)＝lnx，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．55．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．若曲线f(x)＝21x在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．828．设函数F(x)＝fxex是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)B．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)C．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)D．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)9．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，12)10．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)3第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:11．若1,3为函数f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b，c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为.12．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．13．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．14．曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．15．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．17．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．418．已知函数f(x)＝12x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝23x3的图象的下方．19．已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.[来源:]20．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝1128000x3－380x＋8(0x120)．(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？21．已知函数f(x)＝13x3－32x2＋2x＋5.(1)求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与y＝2x＋m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．5高二下期末复习导数及其应用二（文科）参考答案1．[答案]C[解析]∵y＝13x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤απ，∴α＝π4.2．[答案]D[解析]∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)0得x2，∴选D.3．[答案]B[解析]由题可知g(x)＝lnx－1x，∵g(1)＝－10，g(2)＝ln2－12＝ln2－lne0，∴选B.4．[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＝5.5．[答案]C[解析]由导函数y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.6．[答案]B[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由条件知，方程f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)0，∴a－3或a6，故选B.7．[答案]A[解析]8．[答案]C[解析]∵函数F(x)＝fxex的导数F′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0，∴函数F(x)＝fxex是定义在R上的减函数，6∴F(2)F(0)，即f2e2f0e0，故有f(2)e2f(0)．同理可得f(2012)e2012f(0)．故选C.9．[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f′(x)0，在(x0,1)内f′(x)0，由f′(x)＝0得，x2＝2b0，∴b02b1，∴0b12.10．[答案]D[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)0，在(－1,1)上f′(x)0，在(1，＋∞)上f′(x)0，又x2－2x－30的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－30的解集为(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．二、填空题：11．[解析]f′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1,3是方程f′(x)＝0的两个实根，∴b＝－2，c＝3，∴f′(－1)＝8，12．[答案]2x－y＋1＝0[解析]∵点(1,3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.13．[答案](－∞，0][解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴a3≤1，f′1＝3×12－2a－3≥0，解得a≤0，故答案为(－∞，0]．14．[答案]22－1[解析]y′|x＝1＝－12x－12|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.15．[答案]144[解析]设小正方形边长为x，则盒子的容积为v＝x(10－2x)(16－2x)，即v＝4(x3－13x2＋40x)，(0x5)，v′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，7令v′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝203(不符合题意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点，所以，x＝2时，盒子容积的最大值为144cm3.三、解答题：16.[解析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)0，可得x－3或x13；令f′(x)0，可得－3x13.∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．17．[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋b，(1)由题意得，f′23＝3×232＋2a×23＋b＝0，f′1＝3×12＋2a×1＋b＝3.解得a＝2，b＝－4.经检验得x＝23时，y＝f(x)有极小值，所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23，f′(x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：8∵f(23)＝9527，f(－2)＝13，f(－4)＝－11，f(1)＝4，∴f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.18．[解析](1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则x＝1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝12.(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋lnx－23x3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝－2x3＋x2＋1x＝－x－12x2＋x＋1x，当x1时，F′(x)0，故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，又F(1)＝－160，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．919．[解析]（Ⅱ）当14a时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x，有11f(x)f(1)=-2，又已知存在21,2x，使12()()fxgx，所以21()2gx，21,2x，即存在1,2x，使21()242gxxbx，即2922bxx，即922bxx1117[,]24，所以1122b，解得114b，即实数b取值范围是11[,)4。20．[解析](1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，10要耗油(1128000×643－380×64＋8)×2516＝11.95(升)．(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，(1128000x3－380x＋8)×ax＝22.5，∴a＝22.51128000x2＋8x－380，设h(x)＝1128000x2＋8x－380，则当h(x)最小时，a取最大值，h′(x)＝164000x－8x2＝x3－80364000x2，令h′(x)＝0⇒x＝80，当x∈(0,80)时，h′(x)0，当x∈(80,120)时，h′(x)0，故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x∈(80,120)时，函数h(