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余弦定理练习题源网1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝13，那么AC等于()A．6B．26C．36D．462．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于()A.3B.2C.5D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于()A．aB．bC．cD．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为()A．2B．－2C．4D．－48．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为()A.3B．23C.3或23D．29．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.13．在△ABC中，a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c24，则角C＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sinC，求角C的度数．19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．余弦定理源网1.解析：选A.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，∴c＝2.3．解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得cosB＝a2＋c2－b22ac＝32·1tanB＝32·cosBsinB.显然∠B≠π2，∴sinB＝32.∴∠B＝π3或2π3.5．解析：选C.a·a2＋c2－b22ac＋b·b2＋c2－a22bc＝2c22c＝c.6．解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.设增加的长度为m，则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．解析：选A.S△ABC＝3＝12|AB→|·|AC→|·sinA＝12×4×1×sinA，∴sinA＝32，又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝12，∴AB→·AC→＝4×1×12＝2.8．解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－33a，∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或23.9．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝π3.在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×12＝3.答案：310．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)，∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．解析：S＝12absinC，sinC＝32，∴C＝60°或120°.∴cosC＝±12，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝21或61，∴c＝21或61.答案：21或6112．解析：由正弦定理a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，cosB＝a2＋c2－b22ac＝k2＋k2－k22×2k×4k＝1116，同理可得：cosA＝78，cosC＝－14，∴cosA∶cosB∶cosC＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．解析：∵cosC＝13，∴sinC＝223.又S△ABC＝12absinC＝43，即12·b·32·223＝43，∴b＝23.答案：2314．解析：在△ABC中，cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos(π－B)＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．解析：12absinC＝S＝a2＋b2－c24＝a2＋b2－c22ab·ab2＝12abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.答案：45°16．解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，则k2＋k－2－k＋2＜0k＋k－1＞k＋1⇒2＜k＜4，∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，∴cos(π－C)＝12，即cosC＝－12.又∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝a2＋b2－2ab(－12)＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB＝10.18．解：(1)由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.(2)由△ABC的面积12BC·AC·sinC＝16sinC，得BC·AC＝13，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC＋BC2－2AC·BC－AB22AC·BC＝12，所以C＝60°.19．解：(1)在△ABC中，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.20．解：由正弦定理，得sinCsinB＝cb.由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又根据余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．