高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是atyyatxxsincos00(t为参数)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t不参数)②在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是22ba｜t｜.直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是atyyatxxsincos00（t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=221tt中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜221tt｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是sincosrbyrax(φ是参数)φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222byax(a＞b＞0)的参数方程是sincosbyax(φ为参数)椭圆12222byay(a＞b＞0)的参数方程是sincosaybx(φ为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式'sincosyx)0(222xxytgyx三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：sin51cos52yx（为参数）则圆上点P坐标为(2+5cos，1+5sin)，它到所给直线之距离d=223430sin15cos120故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=cossin321所确定的图形是（）A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解：ρ=)6sin(1211)]cos2123(1[21(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin51cos3yx（）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22yx∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程表示)20()sin1(212sin2cosyxA.双曲线的一支，这支过点(1，21)B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x2(x＞0).∴应选B.例5在方程cossinyx(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21)D.(1，0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2将x=21代入，得y=21∴应选C.例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()A.tytxB.tytx2coscosC.ttytgtx2cos12cos1D.ttytgtx2cos12cos1解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt22sin2cos2=ctg2t=2211xttg=，即x2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解：将ρ=22yx，sinθ=22yxy代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)22=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4例9图解：如图.⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，l交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有cosθ=2OPOB，得ρcosθ=2，∴应选B.例104ρsin22=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin22=54ρ·.5cos2221cos把ρ=22yxρcosθ=x，代入上式，得222yx=2x-5.平方整理得y2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin2θ=3,得4·222yxy＝3,即y2=3x2，y=±x3,它表示两相交直线.∴应选B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程ρcosθ=34表示()A.一条平行于x轴的直线B.一条垂直于x轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin2cos2为参数yx的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲线：①θ=6和sinθ=21；②θ=6和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④tytxtytx322213222和其中表示相同曲线的组数为()A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2D.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A．tytx235211B.tytx235211C.tytx235211D.txty2152317.将参数方2222222222mmmbymmmmax(m是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.)(12222axbyaxB.)(12222axbyaxC.)(12222axbyaxD.)(12222axbyax8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6)，则圆心的极坐标和半径分别为()A.(1,3),r=2B.(1,6),r=1C.(1,3),r=1D.(1,-3),r=29.参数方程21yttx(t为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线sec212ytgx(θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=)2(21xB.y=x21C.y-1=)2(2xD.y+1=)2(2x11.若直线btyatx4((t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()A.3B.32C.3或32D.3或3512.已知曲线ptyptx222(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为()A.2p(t1+t2)B.2p(t21+t22)C.│2p(t1-t2)│D.2p(t1-t2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2-x2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin2θ与x轴两个交点距离的最大值是()A.5B.10C.23D.315.直线ρ=sincos23与直线l关于直线θ=4(ρ∈R)对称，则l的方程是()A．sincos23B．coscos23C．sin2cos3D．sin2cos3(二)填空题16.若直线l的参数方程为tytx532543(t为参数)，则过点(4，-1)且与l平行的直线在y轴上的截距为.17.参数方程cos1sincos1cosyx（为参数）化成普通方程为.18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.直线tytx3231(t为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x，y)与点M(-1，2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆sin32cos4yx(θ为参数)上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=3，求点P的坐标.21.曲线C的方程为ptyptx222(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.22.已知椭圆222yx=1及点B(0，-2)，过点B作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF2│·│F2H│成立的直线BD是否存在?并说明理由.(2)若点M为弦CD的中点，S△BMF2=2，试求直线BD的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线tgyx3sec48