高二年级数学第二章第三节等差数列前n项和一课时

2.3.1等差数列的前n项和枣庄六中高二年级数学张婷婷教材分析本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用。等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题。同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。学生分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想。高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。课时分配本节内容用2课时的时间完成，主要讲解等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和，体会等差数列前n项和与二次函数之间的联系。教学目标重点：等差数列前n项和公式。难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得。知识点：掌握差数列前n项和公式,并能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。能力点：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。教育点：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。自主探究点：通过1+2+3、、、、、+99+100的求和思想类比出等差数列前n项和公式。考试点：等差数列前n项和公式的性质及应用。易错易混点：等差数列前n项和公式的性质。拓展点：通过对等差数列前n项和公式的分析概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识用二次函数的思想研究等差数列前n项和公式。教具准备：多媒体课件和导学案课堂模式学案导学（一）创设情境，课题导入1.导入课题问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。这个V形架上共放着多少支铅笔？引导：问题转化求?001321Sn引出课题:等差数列的前n项和一般地，称naaaa...321为数列}{na的前n项和，用nS表示，即nnaaaaS...321让学生回顾高斯求001321的算法。问题二：?n321Sn学生分组讨论、探索，总结高斯算法其及蕴含的思想方法，得出等差数列的前n项和公式的推导方法：“倒序相加法”。2．推导公式探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n项和吗？问题三：已知等差数列}{na中，首项为1a,第n项为na，求它的前n项和nS。引导学生推导求和公式，鼓励用多种方法推导，学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。点评：同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：])1([...)(111dnadaaSn])1([...)(dnadaaSnnnn两式相加得：)(21nnaanS从而：2)(1nnaanS引导学生代入等差数列的通项公式dnaan)1(1，换掉na整理得到dnnnaSn2)1(1。3．知识整合：等差数列的前n项和公式：2)(:1nnaanS公式一，dnnnaSn2)1(1公式二：强调：等差数列}{na前n项和公式涉及五个量：1a、na、d、nS、n，五个量中“知三求二”（方程思想）。问题四：在等差数列前n项和公式的推导过程中，我们运用了哪些数学思想方法？（从特殊到一般的研究问题方法）问题五：比较以上两个公式的结构特征，你能给出它们的几何解释吗？（根据已知条件区分选用公式一还是公式二）4．记忆公式：用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.二、运用新知1.应用公式：例1.已知等差数列}{na中，（1）751a，1057a,求7S；（2）101a，4d，54nS，求n；（3）255S，10010S，求1a及d。分析点拨：我们可以根据题目条件，合理选用两个公式，结合通项公式,建立方程或方程组求解。在1a、na、d、nS、n五个量中，如果知道其中三量，借助方程（组）思想，用待定系数法可求另两量。（知三求二）问题一：学生小组合作练习，分组进行交流。问题二：学生思考，并讨论解答，学生讲解如何进行求解这题。问题三：学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。【设计意图】题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列前n项和公式，从而打好基础。2.实际应用例2.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【设计意图】：本题是一个实际问题，关键从题中取出有用的信息，构建等差数列模型，写出这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。三、巩固练习1.基础训练：（1）.在等差数列}{na中，已知161a，84na，10n,那么10S等于（）A、50B、500C、1000D、5000（2）.在等差数列}{na中，已知1728S，41a，那么d等于（）A、4B、5C、6D、72.拓展训练：（3）.设Sn是等差数列}{na的前n项和，若357S，则4a（4）.设Sn是等差数列}{na的前n项和，若8412S，46020S，则28S四、课堂小结（1）.等差数列前n项和公式的两种形式：2)(1nnaan：S公式一，dnnnaSn2)1(1公式二：（2）.等差数列的前n项和推导方法：倒序相加法。（3）.数学思想：转化与化归，方程的数学思想。（4）.学会问题探究的方法：从特殊到一般。五、布置作业☆必做题：课本46页：习题2.3A组2（1）（2）（3）（4）☆选做题：（1）.已知等差数列}{na前四项和为21，最后四项的和为67，所有项的和为286，求项数n。（2）.对求和史的了解。我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？六、教后反思从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了等差数列前n项和的学习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提高是有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们能够从一节课中吸取精华，让一节又一节的课堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。在整个过程当中，从开始准备到此刻，我深刻的体会到了钻研教材的艰辛与快乐，解惑授业时的责任与幸福。学无止境，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。七、板书设计2.3等差数列的前n项和一．数列的前n项和概念：例1例2nnaaaaS...321二．等差数列的前n项和公式：2)(1nnaan：S公式一dnnnaSn2)1(1公式二：