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2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质一、选择题1．方程y＝|x|x2表示的曲线是()[答案]B[解析]y＝|x|x2＝1|x|，故选B.2．直角坐标系内到x轴的距离与到y轴的距离之差等于1的点的轨迹方程为()A．|x|－|y|＝1B．|y|－|x|＝1C．||x|－|y||＝1D．|x±y|＝1[答案]B3．方程xy2＋x2y＝1所表示的曲线()A．关于直线y＝x对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．关于原点对称[答案]A4．已知A(－1,0)、B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0[答案]B[解析]|AB|＝5，∴C到AB的距离d＝2S5＝4，设C(x，y)、AB所在的直线为4x－3y＋4＝0∴4＝|4x－3y＋4|42＋32∴|4x－3y＋4|＝20∴4x－3y＋4＝20或4x－3y＋4＝－20故4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0，故选B.5．方程(x＋1)·(y－1)＝1(x≠0)表示的曲线关于____对称()A．直线y＝xB．直线y＝x＋2C．直线y＝－xD．(－1，－1)中心[答案]B[解析]曲线(x＋1)(y－1)＝1，即y－1＝1x＋1可看作曲线y＝1x沿x轴向左平移1个单位，沿y轴向上平移1个单位得到的，而y＝1x关于y＝x对称，故曲线y－1＝1x＋1关于直线y＝x＋2对称．6．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是()[答案]D[解析]A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)的坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1,1)在所给曲线上，但不适合方程lgx＋lgy＝1.7．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0[答案]D[解析]设Q为(x，y)，∵|PM|＝|MQ|，∴M为PQ中点．∴P为(－2－x,4－y)．∵P在直线2x－y＋3＝0上，∴y＝2x＋5，∴选D.8．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为()A．3x－y－20＝0(x≠13)B．3x－y－10＝0(x≠13)C．3x－y－12＝0(x≠13)D．3x－y－9＝0(x≠13)[答案]A[解析]设AC、BD交于点O，∵A、C分别为(3，－1)(2，－3)，∴O为(52，－2)，设B为(x，y)，∴D为(5－x，－4－y)．∵D在3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，由于A、B、C、D不共线则应除去与直线AC的交点(13,19)，故所求轨迹方程为3x－y－20＝0(x≠13)．9．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得PM→＝2MA→，则M的轨迹方程是()A．y＝6x2－13B．y＝3x2＋13C．y＝－3x2－1D．x＝6y2－13[答案]A[解析]设M为(x，y)，∵PM→＝2MA→，A(0，－1)，∴P(3x,3y＋2)．∵P为y＝2x2＋1上一点，∴3y＋2＝2×9x2＋1＝18x2＋1，∴y＝6x2－13.故选A.10．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D.(x＋32)2＋y2＝1[答案]C[解析]设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有x1＋32＝x，y1＋02＝y.∴x1＝2x－3，y1＝2y.∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，∴x21＋y21＝1，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.二、填空题11．点P(a，b)是单位圆上的动点，则Q(a＋b，ab)的轨迹方程是________．[答案]x2－2y－1＝0[解析]∵P(a，b)在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a＋b)2－2ab＝1，∴x2－2y＝1为Q的轨迹方程．12．已知△ABC为圆x2＋y2＝4的一个内接三角形，且：：＝1：3：5，则BC中点M的轨迹方程为________．[答案]x2＋y2＝1[解析]如图建系设BC中点为M(x，y)，连接OB、OC、OM，由于∠BOC＝120°，所以∠OBC＝30°，所以OM＝12OB＝1.于是M点的轨迹方程为x2＋y2＝1.13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为______．[答案]x2＋y2＝4[解析]设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，∵∠APB＝60°，OB＝2，∴x2＋y2＝4.14．与点(2，－3)的连线的倾斜角为2π3的点M的轨迹方程是________．[答案]3x＋y＋3－23＝0(x≠2)[解析]所求动点M的轨迹为过(2，－3)点，斜率k＝tan23π＝－3的直线．由点斜式得y＋3＝－3(x－2)即3x＋y＋3－23＝0(x≠2)．三、解答题15．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上，且APPM＝3，求动点P的轨迹方程．[解析]设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得x＝4＋3x01＋3y＝2＋3y01＋3得x0＝4x－43y0＝4y－23，因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2×4x－43－4y－23＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝016．(2009·邯郸高二检测)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数2，求动点M的轨迹方程．[解析]如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝2|MQ|}，∵圆半径|ON|＝1，∴|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1，设M(x，y)，则由|MN|2＝|MO|2－1＝2|MQ|2得，x2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2]，整理得：x2＋y2－8x＋9＝0.17．已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于0的等差数列．点P的轨迹是什么曲线？[解析]设P(x，y)由M(－1,0)，N(1,0)得PM→＝－MP→＝(－1－x，－y)，PN→＝－NP→＝(1－x，－y)，MN→＝－NM→＝(2,0)，∴MP→·MN→＝2(1＋x)，PM→·PN→＝x2＋y2－1，NM→·NP→＝2(1－x)于是MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→是公差小于零的等差数列等价于x2＋y2－1＝12[2(1＋x)＋2(1－x)]2(1－x)－2(1＋x)0，即x2＋y2＝3x0，∴点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)18．点P与两顶点A(－4,0)、B(4,0)的连线所成的角∠APB＝45°，求动点P的轨迹方程．[解析](1)当kAP或kPB不存在时，动点P为(4,8)，(－4,8)，(－4，－8)，(4，－8)．(2)当kAP、kPB存在时，设P(x，y)若y0，有yx－4－yx＋41＋y2x2－16＝1，化简得x2＋y2－8y－16＝0(y0)，检验知(4,8)和(－4,8)均适合上式．若y0，有yx＋4－yx－41＋y2x2－16＝1，化简得x2＋y2＋8y－16＝0(y0)，检验知(－4，－8)和(4，－8)均适合上式，综上知所求轨迹方程为x2＋y2－8y－16＝0(y0)或x2＋y2＋8y－16＝0(y0)．